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https://doi.org/10.11588/diglit.43847#0003
Zur absoluten Geometrie.
Die nachstehende Vereinfachung und übersichtliche Gestaltung der
Hauptformeln der absoluten Geometrie unter Wahrung der Dualität
scheint noch nicht bekannt zu sein. Alle Bezeichnungen und Be-
nennungen sind die in der Euklidischen Geometrie gebräuchlichen oder
so gewählt, daß sie sich möglichst selbst erklären.1)
I. Das absolute Gebilde.
Die projektive Geometrie des Raumes sei entwickelt. Dem Vor-
gang von Cayley2) und F. Klein3) folgend werde der projektive Raum
durch eine absolute Fläche (A. F.) „geeicht“. Ihre Gleichungen
in zusammengehörigen Ebenen- und Punktkoordinaten seien
(la) f(u, u) = u[ + u"- + -f- eu\ (lb) F(«,«) = £ (a;-+2;^+ ^3)+^
= 0 = 0,
wo £ =-j-1 (elliptische Geometrie) oder £= —1 (hyperbolische
Geometrie) oder £ = 0 (parabolische oder Euklidische Geometrie)
ist. Jede dieser beiden Formen ist die adjungierte der andern; im
Falle £ = 0 wenigstens F die adjungierte von f. Die A. F. in Achsen-
und Strahlenkoordinaten, d. h. ihr Tangentenkomplex hat die Gleichungen
(2a) (ptq^^q^+q^+q^ (2b) ^(p,2>)
+ £Gi4+3'L+2'h) = 0 +£OL4-7)31+1’L)=0.
Die Punkte, Ebenen, Strahlen der A. F. heißen absolute Punkte,
Ebenen, Strahlen. Alle vier Formen sind so bestimmt, daß sie
in der elliptischen und parabolischen Geometrie für alle reellen, nicht
absoluten Elemente, in der hvperbolischen Geometrie aber für die
elliptischen (inneren) Punkte und für die hyperbolischen, d. h.
in das Innere der A. F. eintretenden Geraden und Ebenen positive
r) Im übrigen vergl. man wegen der Bezeichnung von Formen und Deter-
minanten das Lehrbuch der anal. Geom. von L. Heffter und C. Koehler. Leipzig,
Teubner, I. 1905, II. 1923.
2) A sixt memoir on Quantics, Phil. Trans, t. 149 (1859); Coll. math. Papers
Vol. II.
3) Über die sog. Nicht-Euklidische Geometrie, Gött. Nachr. 1871 und die
folgenden Abhandlungen. Ges. Math. Abhandlungen T. 1921.
Die nachstehende Vereinfachung und übersichtliche Gestaltung der
Hauptformeln der absoluten Geometrie unter Wahrung der Dualität
scheint noch nicht bekannt zu sein. Alle Bezeichnungen und Be-
nennungen sind die in der Euklidischen Geometrie gebräuchlichen oder
so gewählt, daß sie sich möglichst selbst erklären.1)
I. Das absolute Gebilde.
Die projektive Geometrie des Raumes sei entwickelt. Dem Vor-
gang von Cayley2) und F. Klein3) folgend werde der projektive Raum
durch eine absolute Fläche (A. F.) „geeicht“. Ihre Gleichungen
in zusammengehörigen Ebenen- und Punktkoordinaten seien
(la) f(u, u) = u[ + u"- + -f- eu\ (lb) F(«,«) = £ (a;-+2;^+ ^3)+^
= 0 = 0,
wo £ =-j-1 (elliptische Geometrie) oder £= —1 (hyperbolische
Geometrie) oder £ = 0 (parabolische oder Euklidische Geometrie)
ist. Jede dieser beiden Formen ist die adjungierte der andern; im
Falle £ = 0 wenigstens F die adjungierte von f. Die A. F. in Achsen-
und Strahlenkoordinaten, d. h. ihr Tangentenkomplex hat die Gleichungen
(2a) (ptq^^q^+q^+q^ (2b) ^(p,2>)
+ £Gi4+3'L+2'h) = 0 +£OL4-7)31+1’L)=0.
Die Punkte, Ebenen, Strahlen der A. F. heißen absolute Punkte,
Ebenen, Strahlen. Alle vier Formen sind so bestimmt, daß sie
in der elliptischen und parabolischen Geometrie für alle reellen, nicht
absoluten Elemente, in der hvperbolischen Geometrie aber für die
elliptischen (inneren) Punkte und für die hyperbolischen, d. h.
in das Innere der A. F. eintretenden Geraden und Ebenen positive
r) Im übrigen vergl. man wegen der Bezeichnung von Formen und Deter-
minanten das Lehrbuch der anal. Geom. von L. Heffter und C. Koehler. Leipzig,
Teubner, I. 1905, II. 1923.
2) A sixt memoir on Quantics, Phil. Trans, t. 149 (1859); Coll. math. Papers
Vol. II.
3) Über die sog. Nicht-Euklidische Geometrie, Gött. Nachr. 1871 und die
folgenden Abhandlungen. Ges. Math. Abhandlungen T. 1921.