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https://doi.org/10.11588/diglit.43847#0011
Zur absoluten Geometrie.
11
V. Beschränkung auf Bündel und Ebene.
Es bedarf kaum der Ausführung, wie sich die Formeln und De-
finitionen vereinfachen, wenn man sich auf das Bündel oder das
ebene Feld beschränkt.
A. Als Träger des Bündels . wählen wir einen nicht absoluten
und im Falle des hyperbolischen Raumes elliptischen (inneren) reellen
Punkt. Ein solcher ist stets der Punkt 0001. In allen vorstehenden
Formeln ist dann xi=ui = 0 zu setzen. uv u2, u3 bleiben homogene
Ebenenkoordinaten, x1,x„x3 werden homogene Strahlenkoordinaten.
Es werden p23 =^31 = ^14 = #24 = ^34 = 0, Ph=Qh = xi> PL
= q* 2 = x\, p3 4 = q\., — x~a. Das absolute Gebilde wird
(30a) /?(u,m)=w(4Lw2+ms — 0 (30b) F(%,x)=x[F%l-\-x2s^0
[d>ip, p) == 92 (&£)== J7 (x, #)].
Die Geometrie im Bündel ist elliptisch. Sie ist identisch mit
der Geometrie in jeder Ebene des elliptischen Raumes, mit der in
jeder elliptischen Ebene des hyperbolischen und mit der in der
absoluten Ebene des parabolischen Raumes. In der elliptischen
Geometrie eines Grundgebildes II. Stufe herrscht vollständige Dualität.
B. Als Träger eines ebenen Feldes wählen wir eine reelle
nicht absolute und im Falle des hyperbolischen Raumes hyperbolische
(reell schneidende) Ebene. Ein solche ist stets die Ebene 0010. In
allen Definitionen und Formeln von IV ist dann x3 = u3 =p23 — pai
— Pat — Qu — Qi2 = zu setzen. x1} x2> xi bleiben homogene
Punktkoordinaten, ut,u2,w4 werden homogene Linienkoordinaten in der
Ebene. Es wird =p24 = u2, 2223 =p24 = w2, g-24 =p22 =u2. Das
absolute Gebilde wird
(31a) /‘(u,w) = w2-j-w2+£W4 = 0 (31b) F(ä;,«)=£ä;2-)-£ä;2-!-«4=0
[92 (q, q)~F^p,p}~ f(u, w)J.
Je nachdem £ = -f-I, = — 1 oder =0 ist, ist die Geometrie in dieser
Ebene elliptisch (Fall A), hyperbolisch oder parabolisch.
In allen quantitativen Bestimmungen, die aus den in IV aufgestellten
fließeu, gilt auch hier wie dort die Dualität.
Dies veranlaßt endlich noch zur Einführung eines weiteren Maß-
begriffs in der Ebene. Dem Seitensinus einer Ecke, der raum-
dualistisch der ebenen Dreiecksflächengröße gegen Überstand, steht
bündel dualistisch der Kanten sinus einer Ecke gegenüber. Folglich
müssen wir auch in der Ebene dem Dreieck eben en dualistisch
das Dreiseit gegenüberstellen und der Fläche eines ebenen Dreiecks
den „Seitensinus eines ebenen Dreiseits“. Setzt man aber in
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V. Beschränkung auf Bündel und Ebene.
Es bedarf kaum der Ausführung, wie sich die Formeln und De-
finitionen vereinfachen, wenn man sich auf das Bündel oder das
ebene Feld beschränkt.
A. Als Träger des Bündels . wählen wir einen nicht absoluten
und im Falle des hyperbolischen Raumes elliptischen (inneren) reellen
Punkt. Ein solcher ist stets der Punkt 0001. In allen vorstehenden
Formeln ist dann xi=ui = 0 zu setzen. uv u2, u3 bleiben homogene
Ebenenkoordinaten, x1,x„x3 werden homogene Strahlenkoordinaten.
Es werden p23 =^31 = ^14 = #24 = ^34 = 0, Ph=Qh = xi> PL
= q* 2 = x\, p3 4 = q\., — x~a. Das absolute Gebilde wird
(30a) /?(u,m)=w(4Lw2+ms — 0 (30b) F(%,x)=x[F%l-\-x2s^0
[d>ip, p) == 92 (&£)== J7 (x, #)].
Die Geometrie im Bündel ist elliptisch. Sie ist identisch mit
der Geometrie in jeder Ebene des elliptischen Raumes, mit der in
jeder elliptischen Ebene des hyperbolischen und mit der in der
absoluten Ebene des parabolischen Raumes. In der elliptischen
Geometrie eines Grundgebildes II. Stufe herrscht vollständige Dualität.
B. Als Träger eines ebenen Feldes wählen wir eine reelle
nicht absolute und im Falle des hyperbolischen Raumes hyperbolische
(reell schneidende) Ebene. Ein solche ist stets die Ebene 0010. In
allen Definitionen und Formeln von IV ist dann x3 = u3 =p23 — pai
— Pat — Qu — Qi2 = zu setzen. x1} x2> xi bleiben homogene
Punktkoordinaten, ut,u2,w4 werden homogene Linienkoordinaten in der
Ebene. Es wird =p24 = u2, 2223 =p24 = w2, g-24 =p22 =u2. Das
absolute Gebilde wird
(31a) /‘(u,w) = w2-j-w2+£W4 = 0 (31b) F(ä;,«)=£ä;2-)-£ä;2-!-«4=0
[92 (q, q)~F^p,p}~ f(u, w)J.
Je nachdem £ = -f-I, = — 1 oder =0 ist, ist die Geometrie in dieser
Ebene elliptisch (Fall A), hyperbolisch oder parabolisch.
In allen quantitativen Bestimmungen, die aus den in IV aufgestellten
fließeu, gilt auch hier wie dort die Dualität.
Dies veranlaßt endlich noch zur Einführung eines weiteren Maß-
begriffs in der Ebene. Dem Seitensinus einer Ecke, der raum-
dualistisch der ebenen Dreiecksflächengröße gegen Überstand, steht
bündel dualistisch der Kanten sinus einer Ecke gegenüber. Folglich
müssen wir auch in der Ebene dem Dreieck eben en dualistisch
das Dreiseit gegenüberstellen und der Fläche eines ebenen Dreiecks
den „Seitensinus eines ebenen Dreiseits“. Setzt man aber in