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https://doi.org/10.11588/diglit.43847#0010
JO
L. Heffter:
(27 a) (XX'X"X"'y
= (X'X''X"'y (Xuy,
das Tetraedervolumen ist
gleich dem Produkt jeder
Seitenfläche mal ihrem Ab-
stand von der Gegen ecke.
(27 b) sin2 (u u u" u'"}
— sin2 (w' u" u") (u Xy,
der Tetraedersinus ist gleich
dem Produkt des Seite n -
sinus jeder Ecke mal ihrem
Abstand von der Gegen-
seite.
Entwickelt man die Determinante (24 a) andererseits nach dem
Laplacesehen Satz durch Zusammenfassung der beiden ersten und der
beiden letzten Zeilen, so folgt:
(28) (x x' x" x"}2 = [2/(xx')ik [x" ~.
Damit in der rechts stehenden Komposition der Strahlenkoordinaten von
v~XX' und v =X" X'" diese Linienkoordinaten die Normalform
undp^ erhalten, muß durch 0 (y, v) und &(y', v') dividiert werden,
jene Größen, die nach (14 a) die Streckenquadrate der beiden Gegen-
kanten XX und AAAZ" bedeuten. Danach ist der Ausdruck
durch die beiden Gegenkanten p = v = XX! und p^v'~ X" X"'
eindeutig bestimmt und nur gleich Null, wenn diese beiden Geraden
miteinander inzidieren, d. h. einen absoluten oder nicht absoluten
Schnittpunkt haben. Wir benutzen ihn deshalb — für e=0 im Ein-
klang mit den Formeln der Euklidischen Geometrie — zu der De-
finition:
Das Quadrat des Moments zweier Geraden ppp' oder
7, q' ist
(29) (ppp y = (<qq y — ^pikp qM q •
Denn zu derselben Definition gelangt man von (24b) aus, wobei
nur statt der pik und p M die mit ihnen gleichwertigen qhl und q ik
auftreten. Das Moment ist ein sich selbst dualistischer
Begriff. Während man aber beim Übergang von (24a) zu (29)
durch 0 (v, v) und (F, F), die Strecken quadrate der beiden Gegen-
kanten XX' und X"X'", dividieren mußte, muß man beim Übergang
von (24b) zu (29) durch p (s, s) und <p(s', s'), d. h. nach (14 b) durch
die S i n u s quadrate der beiden Gegenkanten uu' und u" u" , dividieren.
So ergeben sich die Sätze:
Das Tetraedervolumen Der Tetraedersinus ist
ist gleich dem Produkt je gleich dem Produkt der
zweier Gegenkantenstrecken Sinus der Seitenpaare je
mal ihrem Moment. zweier Gegen kanten mal
ihrem Moment.
L. Heffter:
(27 a) (XX'X"X"'y
= (X'X''X"'y (Xuy,
das Tetraedervolumen ist
gleich dem Produkt jeder
Seitenfläche mal ihrem Ab-
stand von der Gegen ecke.
(27 b) sin2 (u u u" u'"}
— sin2 (w' u" u") (u Xy,
der Tetraedersinus ist gleich
dem Produkt des Seite n -
sinus jeder Ecke mal ihrem
Abstand von der Gegen-
seite.
Entwickelt man die Determinante (24 a) andererseits nach dem
Laplacesehen Satz durch Zusammenfassung der beiden ersten und der
beiden letzten Zeilen, so folgt:
(28) (x x' x" x"}2 = [2/(xx')ik [x" ~.
Damit in der rechts stehenden Komposition der Strahlenkoordinaten von
v~XX' und v =X" X'" diese Linienkoordinaten die Normalform
undp^ erhalten, muß durch 0 (y, v) und &(y', v') dividiert werden,
jene Größen, die nach (14 a) die Streckenquadrate der beiden Gegen-
kanten XX und AAAZ" bedeuten. Danach ist der Ausdruck
durch die beiden Gegenkanten p = v = XX! und p^v'~ X" X"'
eindeutig bestimmt und nur gleich Null, wenn diese beiden Geraden
miteinander inzidieren, d. h. einen absoluten oder nicht absoluten
Schnittpunkt haben. Wir benutzen ihn deshalb — für e=0 im Ein-
klang mit den Formeln der Euklidischen Geometrie — zu der De-
finition:
Das Quadrat des Moments zweier Geraden ppp' oder
7, q' ist
(29) (ppp y = (<qq y — ^pikp qM q •
Denn zu derselben Definition gelangt man von (24b) aus, wobei
nur statt der pik und p M die mit ihnen gleichwertigen qhl und q ik
auftreten. Das Moment ist ein sich selbst dualistischer
Begriff. Während man aber beim Übergang von (24a) zu (29)
durch 0 (v, v) und (F, F), die Strecken quadrate der beiden Gegen-
kanten XX' und X"X'", dividieren mußte, muß man beim Übergang
von (24b) zu (29) durch p (s, s) und <p(s', s'), d. h. nach (14 b) durch
die S i n u s quadrate der beiden Gegenkanten uu' und u" u" , dividieren.
So ergeben sich die Sätze:
Das Tetraedervolumen Der Tetraedersinus ist
ist gleich dem Produkt je gleich dem Produkt der
zweier Gegenkantenstrecken Sinus der Seitenpaare je
mal ihrem Moment. zweier Gegen kanten mal
ihrem Moment.