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https://doi.org/10.11588/diglit.43847#0009
Zur absoluten Geometrie.
9
Da dieser Ausdruck also durch die vier Punkte eindeutig bestimmt
und nur dann gleich Null ist, wenn alle vier Punkte komplanar sind
(in derselben Ebene liegen), so eignet er sich zur Definition des Te-
traedervolumens. Diesem stellen wir dualistisch den Begriff des
„Tetraeder-Sinus“ (Sinus eines Ebenenquadrupels) gegenüber, der
in der Euklidischen Geometrie die Verallgemeinerung des Staudt sehen
Seitensinus einer Ecke, (Sinus eines Ebenentripels), wie dieser eine
Verallgemeinerung des Sinus eines Ebenenpaares ist und in seiner
geometrischen Bedeutung durch die folgenden Sätze sogleich verständ-
lich werden wird. Also:
(24a) (XX'X"X"')2
= (XX x" x"}2.
Quadrat des Sinus der
vier Ebenen w, u', u", um
(24 b) sin2 (w u' u" u"')
= (wu' u" u"y.
Die Definition des Tetraedervolumens ist mit derjenigen der Eukli-
dischen Geometrie im Einklang, wenn das Tetraeder mit dem Einheits-
tetraeder, nicht mit dem Einheitswürfel gemessen wird.
Nach der ersten Zeile entwickelt ist die Determinante (24 a)
(25) (x x x" x'")2 = x{ (x' x" x"')i]2.
Die rechte Seite ist die Komposition der Normalkoordinaten an
von X mit den Koordinaten der Gegenseite v = X'X"X/", die aber
noch nicht Normalform haben, sondern erst durch Division der Glei-
chung mit f(v,v) erhalten. Bezeichnet man die Normalkoordinaten von
v = X' X" X'" mit (so daß dann v und u dieselbe Ebene bedeuten),
so ist £x.u. ein durch die Elemente X und u eindeutig bestimmter
Ausdruck, der 'nur bei Inzidenz von X und u Null wird, also zur
Definition des sich selbst dualistischen Abstandes Xu geeignet ist:
Das Abstandsquadrat des Punktes X und der Ebenem
(26) (Xu)2 = (^XiU^2.
Zu derselben, mit der Euklidischen Geometrie im Einklang stehenden
Definition gelangt man von (24b) aus, wenn man dort die Determi-
nante nach der ersten Zeile entwickelt. Während aber (24 a) nach der
Entwicklung in die Gestalt (25) durch die Division mit f(y,v) [nach
(18 a) Quadrat der Dreiecksfläche X' X' X'"} die Gestalt (26) erhielt,
erhält (24b) die Endform (26) nach Division mit F(s, s), wo s der
Schnittpunkt der drei Ebenen u', u", u", d. h. nach (18b) mit dem
Quadrat des Seitensinus der Ecke uu"u"' Somit folgt aus (24)
und (26):
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Da dieser Ausdruck also durch die vier Punkte eindeutig bestimmt
und nur dann gleich Null ist, wenn alle vier Punkte komplanar sind
(in derselben Ebene liegen), so eignet er sich zur Definition des Te-
traedervolumens. Diesem stellen wir dualistisch den Begriff des
„Tetraeder-Sinus“ (Sinus eines Ebenenquadrupels) gegenüber, der
in der Euklidischen Geometrie die Verallgemeinerung des Staudt sehen
Seitensinus einer Ecke, (Sinus eines Ebenentripels), wie dieser eine
Verallgemeinerung des Sinus eines Ebenenpaares ist und in seiner
geometrischen Bedeutung durch die folgenden Sätze sogleich verständ-
lich werden wird. Also:
(24a) (XX'X"X"')2
= (XX x" x"}2.
Quadrat des Sinus der
vier Ebenen w, u', u", um
(24 b) sin2 (w u' u" u"')
= (wu' u" u"y.
Die Definition des Tetraedervolumens ist mit derjenigen der Eukli-
dischen Geometrie im Einklang, wenn das Tetraeder mit dem Einheits-
tetraeder, nicht mit dem Einheitswürfel gemessen wird.
Nach der ersten Zeile entwickelt ist die Determinante (24 a)
(25) (x x x" x'")2 = x{ (x' x" x"')i]2.
Die rechte Seite ist die Komposition der Normalkoordinaten an
von X mit den Koordinaten der Gegenseite v = X'X"X/", die aber
noch nicht Normalform haben, sondern erst durch Division der Glei-
chung mit f(v,v) erhalten. Bezeichnet man die Normalkoordinaten von
v = X' X" X'" mit (so daß dann v und u dieselbe Ebene bedeuten),
so ist £x.u. ein durch die Elemente X und u eindeutig bestimmter
Ausdruck, der 'nur bei Inzidenz von X und u Null wird, also zur
Definition des sich selbst dualistischen Abstandes Xu geeignet ist:
Das Abstandsquadrat des Punktes X und der Ebenem
(26) (Xu)2 = (^XiU^2.
Zu derselben, mit der Euklidischen Geometrie im Einklang stehenden
Definition gelangt man von (24b) aus, wenn man dort die Determi-
nante nach der ersten Zeile entwickelt. Während aber (24 a) nach der
Entwicklung in die Gestalt (25) durch die Division mit f(y,v) [nach
(18 a) Quadrat der Dreiecksfläche X' X' X'"} die Gestalt (26) erhielt,
erhält (24b) die Endform (26) nach Division mit F(s, s), wo s der
Schnittpunkt der drei Ebenen u', u", u", d. h. nach (18b) mit dem
Quadrat des Seitensinus der Ecke uu"u"' Somit folgt aus (24)
und (26):