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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0009
Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.
9
Wollen wir den gewonnenen Eindeutigkeitsatz ohne Verwendung
des Idealbegriffs aussprechen, so müssen wir ihn so formulieren:
Es sei a ein beliebiges reguläres Element aus R. Dann
gilt eine Gleichung a=r-p^ -p^, wobeireine Einheit ist,
während die Elemente pv p2'"Pa nic^t äquivalente Primele-
mente sind. Hat man z wei Dar stellun gen a — r-pj1 -p^2 ■ •■•pQJ —
r-p^-p^--• -p^, so ist o=o, und bei geeigneter Numerierung
sind^£ und äquivalent, und die Exponenten und stim-
men überein.
Die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes folgt unmittelbar aus
Satz 2, wenn wir ci als Basis eines regulären Ideals auffassen. Man
sieht übrigens aus der umständlichen Ausdrucksweise, zu der wir durch
die Berücksichtigung der Einheitsfaktoren gezwungen sind, daß die Ein-
führung des Idealbegriffs auch bei Hauptidealringen, wenn auch nicht
absolut unumgänglich, so doch für Ökonomie der Darstellung recht
vorteilhaft ist.
§ 3. Die Nullteilerideale und die Zerlegung des Ringes R.
Bei der Untersuchung der Nullteilerideale werden wir auf wesent-
lich andere Verhältnisse stoßen als bei den regulären Idealen. Die
Dinge liegen hier in der Hauptsache genau so wie bei den allgemeinen
zerlegbaren Ringen. Wir beweisen zunächst, als Analogon von Satz 1
den von Herrn Fraenkel herrührenden1)
Satz 3. Besitzt das Nullteilerideal a ein Nullteilerideal b
als echten Teiler, so läßt sich a als Produkt echter
Teiler darstellen.
Ist nämlich at ein echter Teiler von ci, so gilt wegen der Haupt-
idealeigenschaft von cq sicher auch eine Produktdarstellung a = a1-a'1,
wobei a\ ein echter oder unechter Teiler von a ist. Soll nun cq Null-
teilerideal sein, so haben wir eine Gleichung a1-ä1=(O); cq f (0), und
mithin a=a1-(a'1, ä1)=(a-a'1, a-äi).2) Ich behaupte nun, daß a2 = (a'1, äx)
ein echter Teiler von a ist. In der Tat, wäre es anders, so müßte
jedenfalls cq durch a teilbar sein, es müßte also eine Gleichung cq=a"- ei'
bestehen. Dann aber hätten wir: ci = cq ■ Q, und weiter cq = a' • q = cq • cf • a -
cq • cq = (0), entgegen unsrer Voraussetzung.
Aus Satz 3 folgt, daß ein Nullteilerideal p nur dann Primideal
J) Vergl. F. § 2. Satz 2.
2) Die distributive Formel a’(ai, da) = (a• cii, u-fla), nach der hier ausmulti-
pliziert wurde, folgt unmittelbar aus der Definition des Idealproduktes.
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Wollen wir den gewonnenen Eindeutigkeitsatz ohne Verwendung
des Idealbegriffs aussprechen, so müssen wir ihn so formulieren:
Es sei a ein beliebiges reguläres Element aus R. Dann
gilt eine Gleichung a=r-p^ -p^, wobeireine Einheit ist,
während die Elemente pv p2'"Pa nic^t äquivalente Primele-
mente sind. Hat man z wei Dar stellun gen a — r-pj1 -p^2 ■ •■•pQJ —
r-p^-p^--• -p^, so ist o=o, und bei geeigneter Numerierung
sind^£ und äquivalent, und die Exponenten und stim-
men überein.
Die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes folgt unmittelbar aus
Satz 2, wenn wir ci als Basis eines regulären Ideals auffassen. Man
sieht übrigens aus der umständlichen Ausdrucksweise, zu der wir durch
die Berücksichtigung der Einheitsfaktoren gezwungen sind, daß die Ein-
führung des Idealbegriffs auch bei Hauptidealringen, wenn auch nicht
absolut unumgänglich, so doch für Ökonomie der Darstellung recht
vorteilhaft ist.
§ 3. Die Nullteilerideale und die Zerlegung des Ringes R.
Bei der Untersuchung der Nullteilerideale werden wir auf wesent-
lich andere Verhältnisse stoßen als bei den regulären Idealen. Die
Dinge liegen hier in der Hauptsache genau so wie bei den allgemeinen
zerlegbaren Ringen. Wir beweisen zunächst, als Analogon von Satz 1
den von Herrn Fraenkel herrührenden1)
Satz 3. Besitzt das Nullteilerideal a ein Nullteilerideal b
als echten Teiler, so läßt sich a als Produkt echter
Teiler darstellen.
Ist nämlich at ein echter Teiler von ci, so gilt wegen der Haupt-
idealeigenschaft von cq sicher auch eine Produktdarstellung a = a1-a'1,
wobei a\ ein echter oder unechter Teiler von a ist. Soll nun cq Null-
teilerideal sein, so haben wir eine Gleichung a1-ä1=(O); cq f (0), und
mithin a=a1-(a'1, ä1)=(a-a'1, a-äi).2) Ich behaupte nun, daß a2 = (a'1, äx)
ein echter Teiler von a ist. In der Tat, wäre es anders, so müßte
jedenfalls cq durch a teilbar sein, es müßte also eine Gleichung cq=a"- ei'
bestehen. Dann aber hätten wir: ci = cq ■ Q, und weiter cq = a' • q = cq • cf • a -
cq • cq = (0), entgegen unsrer Voraussetzung.
Aus Satz 3 folgt, daß ein Nullteilerideal p nur dann Primideal
J) Vergl. F. § 2. Satz 2.
2) Die distributive Formel a’(ai, da) = (a• cii, u-fla), nach der hier ausmulti-
pliziert wurde, folgt unmittelbar aus der Definition des Idealproduktes.