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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0004
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Julius Wellstein:
Dreht man das Tetraeder, das vom Koordinatenanfang 0 und den
Punkten (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) gebildet wird, um seine Spitze (den
Punkt 0) und bezeichnet die nach den neuen Eckpunkten gehenden
Vektoren mit e2, e3, so bestehen zwischen diesen Vektoren die Nor-
mierungsbeziehungen :
(3 a) (el/el) = (^2/^2) = (^3/^3) ~ 1? (el/e2) = (^2/^3) “ V/V) — 0
(3 b) (e2 «’) = (% e2 e3) = 1,
wo z, /z, v eine zyklische Permutation von 1, 2, 3 ist. Die Richtungen
der Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht, oder, projektiv
aufgefaßt, ihre uneigentlichen Punkte bilden ein Poldreieck des a. K.
(absoluten Kegelschnittes), sie bilden ein „normales Dreikant“, die
Figur der gemäß (3 a, b) normierten Vektoren ein „normales Tetraeder“.
Zu gegebener Spitze gehören oa3 (zueinander kongruente) normale
Tetraeder. Ist X der Ortsvektor eines Punktes X, so liefert (nach
(2) und (3)):
(4) (X/w) = (X/ßj) (ßj/w) + (X/e2) (ejw) + (X/c3) (e3/w)
dessen Komponentenzerlegung bezüglich der Koordinatenachsen ex, e2, e3.
2. Das quasinormale Dreikant. Die so formulierten Sätze
lassen sich ohne weiteres übertragen auf eine Klasse von Tetraedern
und durch sie bestimmten Dreikanten, die nur im engeren, projektiven
Sinne den „normalen“ beigerechnet werden können, ohne zu ihnen
kongruent zu sein.1) Die Figur dreier von einem Punkte
(Spitze) ausgehenden Vektoren a, ö, c heiße ein „quasinor-
males Tetraeder“, die durch sie bestimmten Richtungen
die Kanten eines „quasinormalen Dreikantes“, wenn dieses
Tetr aeder zu dem von den Punkten 0, (|, 4r, 0), (0,0,-?),
(b -1, 0) gebildeten (in dieser Reihenfolge der Eckpunkte) kon-
gruent ist. Die Richtungen der Vektoren a, c sind isotrop, die des
Vektors b ist anisotrop und zu den beiden anderen senkrecht; die
uneigentlichen Punkte der Kanten bilden ein Poldreieck des a. K. in
dem Sinne, daß zwar die Ecken die Pole der Seiten sind, daß aber
nicht jede Seite ihrem Pole „gegenüberliegt“; diese Tatsache soll die
Bezeichnung quasinormal ausdrücken.
Zwischen den Vektoren a, b, c bestehen die „Normierungsbedin-
gungen“ :
(5 a)
(5b)
(«/«) = (c/c) = (d/fc) = (c/fc) = 0; (ö/6) = (c/n) = - 1
(abw') =— (a/w')', (bciv) =— (cfwy, (caw) =— (b/w); (abc) = 1
0 Dieses Dreikant wird bei E. Study [L. 5] S. 257 systematisch einge-
fiilirt; siehe auch E. Vessiot [L. 9] S. 1382.
Julius Wellstein:
Dreht man das Tetraeder, das vom Koordinatenanfang 0 und den
Punkten (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) gebildet wird, um seine Spitze (den
Punkt 0) und bezeichnet die nach den neuen Eckpunkten gehenden
Vektoren mit e2, e3, so bestehen zwischen diesen Vektoren die Nor-
mierungsbeziehungen :
(3 a) (el/el) = (^2/^2) = (^3/^3) ~ 1? (el/e2) = (^2/^3) “ V/V) — 0
(3 b) (e2 «’) = (% e2 e3) = 1,
wo z, /z, v eine zyklische Permutation von 1, 2, 3 ist. Die Richtungen
der Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht, oder, projektiv
aufgefaßt, ihre uneigentlichen Punkte bilden ein Poldreieck des a. K.
(absoluten Kegelschnittes), sie bilden ein „normales Dreikant“, die
Figur der gemäß (3 a, b) normierten Vektoren ein „normales Tetraeder“.
Zu gegebener Spitze gehören oa3 (zueinander kongruente) normale
Tetraeder. Ist X der Ortsvektor eines Punktes X, so liefert (nach
(2) und (3)):
(4) (X/w) = (X/ßj) (ßj/w) + (X/e2) (ejw) + (X/c3) (e3/w)
dessen Komponentenzerlegung bezüglich der Koordinatenachsen ex, e2, e3.
2. Das quasinormale Dreikant. Die so formulierten Sätze
lassen sich ohne weiteres übertragen auf eine Klasse von Tetraedern
und durch sie bestimmten Dreikanten, die nur im engeren, projektiven
Sinne den „normalen“ beigerechnet werden können, ohne zu ihnen
kongruent zu sein.1) Die Figur dreier von einem Punkte
(Spitze) ausgehenden Vektoren a, ö, c heiße ein „quasinor-
males Tetraeder“, die durch sie bestimmten Richtungen
die Kanten eines „quasinormalen Dreikantes“, wenn dieses
Tetr aeder zu dem von den Punkten 0, (|, 4r, 0), (0,0,-?),
(b -1, 0) gebildeten (in dieser Reihenfolge der Eckpunkte) kon-
gruent ist. Die Richtungen der Vektoren a, c sind isotrop, die des
Vektors b ist anisotrop und zu den beiden anderen senkrecht; die
uneigentlichen Punkte der Kanten bilden ein Poldreieck des a. K. in
dem Sinne, daß zwar die Ecken die Pole der Seiten sind, daß aber
nicht jede Seite ihrem Pole „gegenüberliegt“; diese Tatsache soll die
Bezeichnung quasinormal ausdrücken.
Zwischen den Vektoren a, b, c bestehen die „Normierungsbedin-
gungen“ :
(5 a)
(5b)
(«/«) = (c/c) = (d/fc) = (c/fc) = 0; (ö/6) = (c/n) = - 1
(abw') =— (a/w')', (bciv) =— (cfwy, (caw) =— (b/w); (abc) = 1
0 Dieses Dreikant wird bei E. Study [L. 5] S. 257 systematisch einge-
fiilirt; siehe auch E. Vessiot [L. 9] S. 1382.