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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0005
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
ö
deren zweite Gruppe zu (3 b) analog ist und die polare Beziehung
bezüglich des a. K. ausdrückt. Je drei diesen Bedingungen genügende
(kürzer: normierte) Vektoren a, b, c bilden ein cpiasinormales Tetra-
eder (gehören zu einem quasinormalen Dreikant), z. B. die Vektoren:
(6) (a/w) = | g (i e1 + e2l w) (b/w) = — i (e3[w); (c/w) = | (i er — e2/ w).
Dreht man ein solches Tetraeder um die Richtung der Kante (&) um
den aus eiO = g bestimmten Winkel 0, so geht es in das Tetraeder
gct, b, |c über; es gibt co3 quasinormale Tetraeder mit gemeinsamer
Spitze (vgk Nr. 5).
Vermöge der Identitäten (1) und (5) bestehen die häufig gebrauch-
ten Identitäten
(7) — (« b c) (X/w) = — (Xlw~) = (X|c) (afw) + IX/ty (bfw) + (X/a) (c/w),
welche den Vektor X in die Komponenten nach den Achsen et, b, c
zerlegen, sowie
(8) - (X/X) = (X/&)2 + 2 (X/a) (Xk).
Setzt man, für spätere Anwendungen gleichzeitig homogenisierend:
(9) Ä-Xx = (X/c), k^ — (Xlb), kX3 = (X/a), kX4 = X4,
so können die Größen X als isotrope Koordinaten des Punktes X be-
zeichnet werden, und
(10)
X22 + 2XxX3 = 0, X4 = 0
ist dann die Gleichung des a. K. in diesen Koordinaten.
§ 2. Bewegungsgruppen.
3. Die sechsgliedrige Gruppe der euklidischen Bewegungen wird,
mit Benutzung isotroper Koordinaten, durch die Gleichungen
2 Xi = V Xx — 2X /q V 2 3t2 + X3 + sx X4
(1) g X2 = zx 4 I -2 Xx + (2X w2 + z2 ,cq) X, + iq /z2 K-2 X3 + s2 3E4
g k3 = 122 Xx - k2 ta2 K—2 X2 + /z22 X3 + s3
o = (2X /z2 — Ä2 /zx) X4
mit zx /z2 — 22 /zx J 0 dargestellt. Diese Gruppe induziert auf dem
a. K. Projektivitäten, die zwei getrennte oder zusammenfallende Doppel-
punkte haben können.
4. Damit einer dieser Doppelpunkte in den Punkt Fb, (1:0:0: 0),
also in den uneigentlichen Punkt der isotropen Richtung a falle, muß
z2 = 0 sein, und dieser Punkt ist einziger Doppelpunkt auf dem a. K.,
wenn /z2 = Zx ist. Die Kollineation der uneigentlichen Ebene hat als-
dann Fu zum dreifachen Doppelpunkt, welcher kurz als Fund am en-
ö
deren zweite Gruppe zu (3 b) analog ist und die polare Beziehung
bezüglich des a. K. ausdrückt. Je drei diesen Bedingungen genügende
(kürzer: normierte) Vektoren a, b, c bilden ein cpiasinormales Tetra-
eder (gehören zu einem quasinormalen Dreikant), z. B. die Vektoren:
(6) (a/w) = | g (i e1 + e2l w) (b/w) = — i (e3[w); (c/w) = | (i er — e2/ w).
Dreht man ein solches Tetraeder um die Richtung der Kante (&) um
den aus eiO = g bestimmten Winkel 0, so geht es in das Tetraeder
gct, b, |c über; es gibt co3 quasinormale Tetraeder mit gemeinsamer
Spitze (vgk Nr. 5).
Vermöge der Identitäten (1) und (5) bestehen die häufig gebrauch-
ten Identitäten
(7) — (« b c) (X/w) = — (Xlw~) = (X|c) (afw) + IX/ty (bfw) + (X/a) (c/w),
welche den Vektor X in die Komponenten nach den Achsen et, b, c
zerlegen, sowie
(8) - (X/X) = (X/&)2 + 2 (X/a) (Xk).
Setzt man, für spätere Anwendungen gleichzeitig homogenisierend:
(9) Ä-Xx = (X/c), k^ — (Xlb), kX3 = (X/a), kX4 = X4,
so können die Größen X als isotrope Koordinaten des Punktes X be-
zeichnet werden, und
(10)
X22 + 2XxX3 = 0, X4 = 0
ist dann die Gleichung des a. K. in diesen Koordinaten.
§ 2. Bewegungsgruppen.
3. Die sechsgliedrige Gruppe der euklidischen Bewegungen wird,
mit Benutzung isotroper Koordinaten, durch die Gleichungen
2 Xi = V Xx — 2X /q V 2 3t2 + X3 + sx X4
(1) g X2 = zx 4 I -2 Xx + (2X w2 + z2 ,cq) X, + iq /z2 K-2 X3 + s2 3E4
g k3 = 122 Xx - k2 ta2 K—2 X2 + /z22 X3 + s3
o = (2X /z2 — Ä2 /zx) X4
mit zx /z2 — 22 /zx J 0 dargestellt. Diese Gruppe induziert auf dem
a. K. Projektivitäten, die zwei getrennte oder zusammenfallende Doppel-
punkte haben können.
4. Damit einer dieser Doppelpunkte in den Punkt Fb, (1:0:0: 0),
also in den uneigentlichen Punkt der isotropen Richtung a falle, muß
z2 = 0 sein, und dieser Punkt ist einziger Doppelpunkt auf dem a. K.,
wenn /z2 = Zx ist. Die Kollineation der uneigentlichen Ebene hat als-
dann Fu zum dreifachen Doppelpunkt, welcher kurz als Fund am en-