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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0007
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
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(6) (X/w) = (X|w) + 0 (a Xw) +102 (a/X) (afw) + Q^/w).1)
Es lassen sich hier folgende Fälle unterscheiden:
I. 0^0, (pfa) 0.
Die Bewegung hat, als Kollineation aufgefaßt, den Punkt Fu zum
vierfachen Doppelpunkt, die Tangente des a. K. in Fu zur vierfachen
Doppelgeraden, deren Punkte durch eine parabolische Projektivität
transformiert werden. Da diese Eigenschaft auch bei den gewöhn-
lichen Bewegungen nur der Schraubungsachse zukommt2), so kann
die Gerade als (uneigentliche) Schraubungsachse, die Bewegung
als isotrope Schraubung3) bezeichnet werden.
II. HO, (2?/«) = 0.
Zu den im vorigen Falle vorhandenen Doppelelementen tritt noch eine
(eigentliche) isotrope Gerade ((/) von Doppelpunkten, welche durch Fu
geht, nämlich die Gerade: (E]w) = (pcw) + (pfty (b[w) + t (a/w),
t willkürlich veränderlich. Drehung um die isotrope Gerade (rz),
oder kürzer isotrope Drehung.
III. 0 = 0, (p/w) ± 0 anisotrope oder isotrope Schiebung.
IV. 0 = 0, 0 identische Transformation.
§ 3. Isotrope Kurven.
6. Die isotropen (unebenen) Kurven (Minimalkurven) sind bei
beliebiger Parameterdarstellung durch folgende Differentialgleichungen
und -Ungleichungen definiert4):
x fdXldX\ n (dX d2X rPX
aus denen das Bestehen der Beziehungen:
folgt, und umgekehrt haben die Relationen (la), (2 a, b) die übrigen
zur Folge. An den Stellen allgemeiner Lage, d. h. in denen die Un-
gleichungen (lb) (2 a, b) nicht verletzt sind, existiert eine zweiwertige
x) Die Formeln für die bei p = 0 hierin enthaltene Drehungsgruppe finden
sich in spezieller Koordinatendarstellung bei E. Study [L. 6] S. 26.
2) Auf den anderen Fundamentalgeraden der gewöhnlichen Bewegungen
werden nichtparabolische oder identische Projektivitäten induziert.
3) Sie darf nicht mit der von H. Begk [L. 1] S. 46 definierten Minimal-
schraubung verwechselt werden; diese bezeichnen wir hier als isotrope
Drehung.
0 E. Study [L. 4] § 6 ; [L. 5] § 2, insbesondere das Formelsystem (1—3).
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(6) (X/w) = (X|w) + 0 (a Xw) +102 (a/X) (afw) + Q^/w).1)
Es lassen sich hier folgende Fälle unterscheiden:
I. 0^0, (pfa) 0.
Die Bewegung hat, als Kollineation aufgefaßt, den Punkt Fu zum
vierfachen Doppelpunkt, die Tangente des a. K. in Fu zur vierfachen
Doppelgeraden, deren Punkte durch eine parabolische Projektivität
transformiert werden. Da diese Eigenschaft auch bei den gewöhn-
lichen Bewegungen nur der Schraubungsachse zukommt2), so kann
die Gerade als (uneigentliche) Schraubungsachse, die Bewegung
als isotrope Schraubung3) bezeichnet werden.
II. HO, (2?/«) = 0.
Zu den im vorigen Falle vorhandenen Doppelelementen tritt noch eine
(eigentliche) isotrope Gerade ((/) von Doppelpunkten, welche durch Fu
geht, nämlich die Gerade: (E]w) = (pcw) + (pfty (b[w) + t (a/w),
t willkürlich veränderlich. Drehung um die isotrope Gerade (rz),
oder kürzer isotrope Drehung.
III. 0 = 0, (p/w) ± 0 anisotrope oder isotrope Schiebung.
IV. 0 = 0, 0 identische Transformation.
§ 3. Isotrope Kurven.
6. Die isotropen (unebenen) Kurven (Minimalkurven) sind bei
beliebiger Parameterdarstellung durch folgende Differentialgleichungen
und -Ungleichungen definiert4):
x fdXldX\ n (dX d2X rPX
aus denen das Bestehen der Beziehungen:
folgt, und umgekehrt haben die Relationen (la), (2 a, b) die übrigen
zur Folge. An den Stellen allgemeiner Lage, d. h. in denen die Un-
gleichungen (lb) (2 a, b) nicht verletzt sind, existiert eine zweiwertige
x) Die Formeln für die bei p = 0 hierin enthaltene Drehungsgruppe finden
sich in spezieller Koordinatendarstellung bei E. Study [L. 6] S. 26.
2) Auf den anderen Fundamentalgeraden der gewöhnlichen Bewegungen
werden nichtparabolische oder identische Projektivitäten induziert.
3) Sie darf nicht mit der von H. Begk [L. 1] S. 46 definierten Minimal-
schraubung verwechselt werden; diese bezeichnen wir hier als isotrope
Drehung.
0 E. Study [L. 4] § 6 ; [L. 5] § 2, insbesondere das Formelsystem (1—3).
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