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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0011
Zar Differentialgeometrie cler isotropen Kurven.
11
in einen rotatorischen und einen translatorischen Bestandteil getrennt.
Durch den Punkt P geht die Bahnkurve:
(2) (X/w) — CP/w) — t (c Pw) + %t2 (P/c) (c/w) ß- | Z3 (w/t) (c/w) —
1t2 (c m (m/w).
Bilden die Vektoren a, 5, c ein quasinormales Tetraeder, und definiert
man einen Punkt A durch (A/w) = (ctmw), so läßt sich (2) in der
Form schreiben:
(2 a) (X —A/w) = (P—A/w) — t(c,P—A, w) + t2 (P—A/c) (clw) +
(m/c) t3 c — ^^b — t a/w}.
Im Falle (m/c) = 0, wenn also die Translationsrichtung m auf der
isotropen Richtung c senkrecht steht, stellt demnach (2) eine Drehung
um die durch den Punkt A zu c parallele Gerade Q/) dar, die Achse
der isotropen Drehung, die punktweise in Ruhe bleibt (vgl. Nr. 5,II).
Eine Diskussion dieser Bewegungen findet sich bei E. Study x) ; hier
sei nur hingewiesen auf die Drehflächen, welche die anisotropen Ge-
raden beschreiben, die die Drehachse (</) treffen. Es sind dies zuein-
ander kongruente Kegel 2. O., welche keine regulären Kreise, sondern
nur die eine, in den achsenparallelen isotropen Ebenen gelegene Schar
parabolischer Kreise enthalten und daher als parabolische Dreh-
kegel2) bezeichnet werden mögen; sie sind zu der Fläche
(3) (-X/X) + (A/c)2 = 0 kongruent.
11. Die Bahnschraubenlinien. Im Falle (m/c) I 0 stellt (2)
die co3-fache Schar eingliedriger Gruppen isotroper Schrau-
bungen dar. Aus (1) und (2) folgt:
(X/c) = (m/c), (X'X"w) = - (X'/X') (c/w) + (m/c) (X'/w),
(4) (X. X'/X A") = - (X/X) (m/c)2
(X' X" X'") = (m/c)3, (X'/X) — — (P/c)2 + 2 (cmP) -f- (m/m) ee S).
Hieraus ergibt sich, daß die nicht auf dem parabolischen Zylinder
2. O. T) = 0 gelegenen Punkte anisotrope, unebene Kurven besehrei-
ben, deren Krümmung ,, und Torsion ,,, konstant, T =— und
durch die Beziehung P2 -j- T2 = 0 verknüpft sind, also die sogenann-
ten LvoNSchen Schraubenlinien (Z).3) Die Punkte des Zylin-
ders T — 0 dagegen haben die isotropen Lyoxschen Schrauben-
linien (Li) zu Bahnkurven, also die Kurven mit der natürlichen
2) [L. 6] S. 20 ff.; vgl. auch H. Beck [L. 1] § 5, 6.
2) Es sind dies die von H. Beck [L. 1] S. 51 im Anschluß an die nicht-
euklidische Terminologie sogenannten horozyklischen Kegel.
3) Vgl. hierzu wie im folgenden E. Study [L. 6] S. 16—18.
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in einen rotatorischen und einen translatorischen Bestandteil getrennt.
Durch den Punkt P geht die Bahnkurve:
(2) (X/w) — CP/w) — t (c Pw) + %t2 (P/c) (c/w) ß- | Z3 (w/t) (c/w) —
1t2 (c m (m/w).
Bilden die Vektoren a, 5, c ein quasinormales Tetraeder, und definiert
man einen Punkt A durch (A/w) = (ctmw), so läßt sich (2) in der
Form schreiben:
(2 a) (X —A/w) = (P—A/w) — t(c,P—A, w) + t2 (P—A/c) (clw) +
(m/c) t3 c — ^^b — t a/w}.
Im Falle (m/c) = 0, wenn also die Translationsrichtung m auf der
isotropen Richtung c senkrecht steht, stellt demnach (2) eine Drehung
um die durch den Punkt A zu c parallele Gerade Q/) dar, die Achse
der isotropen Drehung, die punktweise in Ruhe bleibt (vgl. Nr. 5,II).
Eine Diskussion dieser Bewegungen findet sich bei E. Study x) ; hier
sei nur hingewiesen auf die Drehflächen, welche die anisotropen Ge-
raden beschreiben, die die Drehachse (</) treffen. Es sind dies zuein-
ander kongruente Kegel 2. O., welche keine regulären Kreise, sondern
nur die eine, in den achsenparallelen isotropen Ebenen gelegene Schar
parabolischer Kreise enthalten und daher als parabolische Dreh-
kegel2) bezeichnet werden mögen; sie sind zu der Fläche
(3) (-X/X) + (A/c)2 = 0 kongruent.
11. Die Bahnschraubenlinien. Im Falle (m/c) I 0 stellt (2)
die co3-fache Schar eingliedriger Gruppen isotroper Schrau-
bungen dar. Aus (1) und (2) folgt:
(X/c) = (m/c), (X'X"w) = - (X'/X') (c/w) + (m/c) (X'/w),
(4) (X. X'/X A") = - (X/X) (m/c)2
(X' X" X'") = (m/c)3, (X'/X) — — (P/c)2 + 2 (cmP) -f- (m/m) ee S).
Hieraus ergibt sich, daß die nicht auf dem parabolischen Zylinder
2. O. T) = 0 gelegenen Punkte anisotrope, unebene Kurven besehrei-
ben, deren Krümmung ,, und Torsion ,,, konstant, T =— und
durch die Beziehung P2 -j- T2 = 0 verknüpft sind, also die sogenann-
ten LvoNSchen Schraubenlinien (Z).3) Die Punkte des Zylin-
ders T — 0 dagegen haben die isotropen Lyoxschen Schrauben-
linien (Li) zu Bahnkurven, also die Kurven mit der natürlichen
2) [L. 6] S. 20 ff.; vgl. auch H. Beck [L. 1] § 5, 6.
2) Es sind dies die von H. Beck [L. 1] S. 51 im Anschluß an die nicht-
euklidische Terminologie sogenannten horozyklischen Kegel.
3) Vgl. hierzu wie im folgenden E. Study [L. 6] S. 16—18.