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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0013
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
13
Begriff auch bei isotropen Kurven existiert, wird in Nr. 27 gezeigt),
liegen in den Normalschnittebenen des Schraubenzylinders, d. h. den
durch dessen Erzeugenden gehenden, zueinander parallelen isotropen
Ebenen, und sind zueinander und der Kurve
(9) {F\w) = — |p2 (tyw) +1p3 (c/w)
kongruent. Die Normalschnitte des Zylinders sind die Erzeugenden
und die Schraubungsachse; bemerkenswert ist aber, daß die Filar-
evolvente (9) sich in gewissem Sinne als Analogon der ge-
wöhnlichen Kreisevolvente auffassen läßt.
Setzt man (P/c) = —p0, so ist (P/6) = — | (p02 + g), (P/a) = £p03
+ i qPo + und (5) geht über in
(10) (X/w) = —{| (p-{-po)3 + ^q(p+Po)-t}^w} +
I {(P+p0Y+q } (6H + (jp +Po) (alw),
wo man wieder statt p-\-p0 schreiben könnte, die Gleichung der
Schraubenlinie (bei festem q, T), zugleich aber die Gleichung der
Schraubenfläche L = 31 = const. Die Kurve (X) geht für p = 0 durch
den Punkt P, die durch P gehende Hauptnormale der Kurve treffe
den Zylinder [Po] oder q = 0 im Punkte P°; die Hauptnormalenfläche
von (X) schneidet den Zylinder |D0] in der isotropen Bahnschrauben-
linie, deren begleitendes Tetraeder in P° durch c° = c, b° =—poc + I),
a° =— |Po2 c + Po ö Q bestimmt ist. Führt man diese Vektoren in
(10) ein, so folgt
(11) (XH = (P°M —(c°/w)+-| (p2jrq) (b0)w) +p (a°|w)
als zweite Normalfo rm der durch den Punkt (P/w) = (P°/w) + | (b°/w)
gehenden Schraubenlinie und der Schraubenfläche [L]. Aus dieser Dar-
stellung folgt, daß eine Schraubenlinie (L<) durch Angabe
eines Punktes und des begleitenden Tetr aeders für diesen
Punkt eindeutig bestimmt ist.
Aus (11) folgt das Bestehen der Gleichung
(12) (X —P/X —P) — |(X—P/60)2 — 3 (X —Pc0)2 = 0, d. h. die
Lyon sehe Schraubenlinie wird aus jedem ihrer Punkte durch zuein-
ander kongruente Kegel 2. O. projiziert, was von vornherein zu er-
warten war. Zu beachten ist indes, daß die isotropen Schrauben-
linien (Li) auf gewöhnlichen Drehkegeln 2. O. liegen, die
zu dem (imaginären) Drehkegel
(13) (Y|Y)—y (F/fr)2 = 0 kongruent sind.
13. Die mannigfachen Analogien zwischen den Lyon sehen und
den gemeinen Schraubenlinien haben ihren tieferen Grund in dem
Umstande, daß sich die Schraubenlinien (2K) einer Schraubenfläche [flf j
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Begriff auch bei isotropen Kurven existiert, wird in Nr. 27 gezeigt),
liegen in den Normalschnittebenen des Schraubenzylinders, d. h. den
durch dessen Erzeugenden gehenden, zueinander parallelen isotropen
Ebenen, und sind zueinander und der Kurve
(9) {F\w) = — |p2 (tyw) +1p3 (c/w)
kongruent. Die Normalschnitte des Zylinders sind die Erzeugenden
und die Schraubungsachse; bemerkenswert ist aber, daß die Filar-
evolvente (9) sich in gewissem Sinne als Analogon der ge-
wöhnlichen Kreisevolvente auffassen läßt.
Setzt man (P/c) = —p0, so ist (P/6) = — | (p02 + g), (P/a) = £p03
+ i qPo + und (5) geht über in
(10) (X/w) = —{| (p-{-po)3 + ^q(p+Po)-t}^w} +
I {(P+p0Y+q } (6H + (jp +Po) (alw),
wo man wieder statt p-\-p0 schreiben könnte, die Gleichung der
Schraubenlinie (bei festem q, T), zugleich aber die Gleichung der
Schraubenfläche L = 31 = const. Die Kurve (X) geht für p = 0 durch
den Punkt P, die durch P gehende Hauptnormale der Kurve treffe
den Zylinder [Po] oder q = 0 im Punkte P°; die Hauptnormalenfläche
von (X) schneidet den Zylinder |D0] in der isotropen Bahnschrauben-
linie, deren begleitendes Tetraeder in P° durch c° = c, b° =—poc + I),
a° =— |Po2 c + Po ö Q bestimmt ist. Führt man diese Vektoren in
(10) ein, so folgt
(11) (XH = (P°M —(c°/w)+-| (p2jrq) (b0)w) +p (a°|w)
als zweite Normalfo rm der durch den Punkt (P/w) = (P°/w) + | (b°/w)
gehenden Schraubenlinie und der Schraubenfläche [L]. Aus dieser Dar-
stellung folgt, daß eine Schraubenlinie (L<) durch Angabe
eines Punktes und des begleitenden Tetr aeders für diesen
Punkt eindeutig bestimmt ist.
Aus (11) folgt das Bestehen der Gleichung
(12) (X —P/X —P) — |(X—P/60)2 — 3 (X —Pc0)2 = 0, d. h. die
Lyon sehe Schraubenlinie wird aus jedem ihrer Punkte durch zuein-
ander kongruente Kegel 2. O. projiziert, was von vornherein zu er-
warten war. Zu beachten ist indes, daß die isotropen Schrauben-
linien (Li) auf gewöhnlichen Drehkegeln 2. O. liegen, die
zu dem (imaginären) Drehkegel
(13) (Y|Y)—y (F/fr)2 = 0 kongruent sind.
13. Die mannigfachen Analogien zwischen den Lyon sehen und
den gemeinen Schraubenlinien haben ihren tieferen Grund in dem
Umstande, daß sich die Schraubenlinien (2K) einer Schraubenfläche [flf j