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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0015
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
15
liegen auf koaxialen Drehzylindern 2. O., die bei dem gleichen Grenz-
übergang in die koaxialen Schraubenzylinder [D] der Schraubenlinien (Z)
übergehen; diese Grenzlagen gestatten indes keine Drehungen, sondern
nur noch isotrope Schraubungen in sich. Die Schraubenachse geht in
die Tangente des a. K. im Fundamentalpunkte der Schraubung über,
die schon früher (Nr. 5) als (uneigentliche) Achse der isotropen Schrau-
bung bezeichnet wurde.
§ 5. Die Näherungsschraubenlinien.
14. Die Methode der Approximation unebener, anisotroper Kurven
durch in höherer Ordnung berührende Schraubenlinien läßt sich auf
isotrope Kurven erst anwenden, wenn für diese der Begriff der Be-
rührung höherer Ordnung erklärt ist. Die bei den anisotropen Kurven
in der Differentialgeometrie gebräuchliche Definition ist jedenfalls nicht
anwendbar; es sei vielmehr folgende, der projektiven Natur dieses Be-
griffes angepaßte vorläufige Erklärung gegeben :
Zwei isotrope Kurven (X), (96) berühren sich in einem
Punkte P, der auf beiden allgemeine Lage hat, in gerade
n-ter Ordnung, wenn bei allen Paaren von Kurven (X), (X),
die aus ihnen durch senkrechte Projektion auf — mit ge-
wissen Ausnahmen beliebige — anisotrope Ebenen |e| er-
halten werden, im Bisse P von P Berührung in mindestens
n-ter Ordnung und bei wenigstens einem solchen Paare
Berührung von gerade n-ter Ordnung stattfindet.
Führt man die Rechnung, wenigstens für die Ordnungen 1 bis 5,
durch, so sieht man, daß diese Erklärung mit der folgenden äqui-
valent ist.
D ie auf ihre natürlichen Parameter bezogenen isotropen
Kurven (X), (X) berühren sich im Punkte P = X(#o) = X (b0) zu
gerade n-ter Ordnung unter folgenden Bedingungen (wobei
jede neue das Bestehen der vorangehenden, das Nichtbestehen der
nächstfolgenden voraussetzt):
(1)
(X»o = Ä'(X»o
Z?2= 1
MO
(X"Ho = (X'»o
(X>)0=/<M
Für die Vektoren a,b,c; a, b, c der begleitenden Dreikante in P sowie
die Invarianten 0, der Kurven (X), (X) ergeben sich hieraus die
Beziehungen:
15
liegen auf koaxialen Drehzylindern 2. O., die bei dem gleichen Grenz-
übergang in die koaxialen Schraubenzylinder [D] der Schraubenlinien (Z)
übergehen; diese Grenzlagen gestatten indes keine Drehungen, sondern
nur noch isotrope Schraubungen in sich. Die Schraubenachse geht in
die Tangente des a. K. im Fundamentalpunkte der Schraubung über,
die schon früher (Nr. 5) als (uneigentliche) Achse der isotropen Schrau-
bung bezeichnet wurde.
§ 5. Die Näherungsschraubenlinien.
14. Die Methode der Approximation unebener, anisotroper Kurven
durch in höherer Ordnung berührende Schraubenlinien läßt sich auf
isotrope Kurven erst anwenden, wenn für diese der Begriff der Be-
rührung höherer Ordnung erklärt ist. Die bei den anisotropen Kurven
in der Differentialgeometrie gebräuchliche Definition ist jedenfalls nicht
anwendbar; es sei vielmehr folgende, der projektiven Natur dieses Be-
griffes angepaßte vorläufige Erklärung gegeben :
Zwei isotrope Kurven (X), (96) berühren sich in einem
Punkte P, der auf beiden allgemeine Lage hat, in gerade
n-ter Ordnung, wenn bei allen Paaren von Kurven (X), (X),
die aus ihnen durch senkrechte Projektion auf — mit ge-
wissen Ausnahmen beliebige — anisotrope Ebenen |e| er-
halten werden, im Bisse P von P Berührung in mindestens
n-ter Ordnung und bei wenigstens einem solchen Paare
Berührung von gerade n-ter Ordnung stattfindet.
Führt man die Rechnung, wenigstens für die Ordnungen 1 bis 5,
durch, so sieht man, daß diese Erklärung mit der folgenden äqui-
valent ist.
D ie auf ihre natürlichen Parameter bezogenen isotropen
Kurven (X), (X) berühren sich im Punkte P = X(#o) = X (b0) zu
gerade n-ter Ordnung unter folgenden Bedingungen (wobei
jede neue das Bestehen der vorangehenden, das Nichtbestehen der
nächstfolgenden voraussetzt):
(1)
(X»o = Ä'(X»o
Z?2= 1
MO
(X"Ho = (X'»o
(X>)0=/<M
Für die Vektoren a,b,c; a, b, c der begleitenden Dreikante in P sowie
die Invarianten 0, der Kurven (X), (X) ergeben sich hieraus die
Beziehungen: