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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0017
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
17
berührt. Die Achsen aller dieser Schraubenlinien bilden eine
paraboloidische Regelschar.1)
16. Die Schmiegschraubenlinie hat mit der Kurve (X) nicht nur
das begleitende Dreikant des Punktes X°, sondern auch das des
Punktes = (X/w)0+ gemeinsam, und man wird ver¬
muten, daß die durch die Schmiegschraubenlinie bestimmte Schraubung
das Dreikant des Punktes X° in das des Punktes X* überführt. Das
ist tatsächlich der Fall: Die Achse ($*) der Schmiegschrauben-
linie ist zugleich Schraubungsachse des begleitenden Drei-
kants im Punkte X°, nämlich wenn 0O # 0, eine eigentliche Gerade
wenn <Z>0 = 0, die Tangente des a. K. ira uneigentlichen Punkte der
Richtung c0.2)
Die Regelschar [P] der Achsen der Näherungsschraubenlinien
enthält demnach, wenn 0O t 0, drei ausgezeichnete Geraden: die
Kurventangente (a0) des Punktes X°, die Tangente (sM) des a. K. im
uneigentlichen Punkte der Nebennormalen (c0) sowie die Schraubungs-
achse (s*) und ist durch sie eindeutig bestimmt. Die so jedem
Kurvenpunkte zugeordneten Paraboloide (auch für P 0 = 0) sind zu-
einander kongruent.
§ 6. Begleitende Linienflächen.
17. Sind — M/t(u), — 6 analytische Funktionen eines
Parameters u mit gemeinsamem Existenzbereich, so stellt die Gleichung
mit variablem v.
(1) (K/w) =(Mlw) + v(mliv) eine von den Geraden (m) gebildete
Linienschar [N] mit der Leitkurve (Jf) dar. Es sind die Fälle
zu unterscheiden:
I. (mm'zv) . 0. Die Geraden sind zu einer festen Rich
tung parallel und erfüllen eine einzelne Gerade
oder einen Parallelstrahlenbüschel oder eineu un-
ebenen Zylinder.
II. (mm'w) ¥ 0, (wm'JP) = 0. Der Schnittpunkt Z konseku-
tiver Geraden ist
x) Bei den anisotropen Kurven besteht ein analoger Satz, nur ist die Ord-
nungszahl der Berührung um eins niedriger; die Achsen der Schraubenlinien
erfüllen ein Zylindroid. Dieses läßt sich übrigens durch einen geeigneten Grenz-
übergang in die paraboloidische Schar [P] unseres Satzes überführen, wobei sich
eine Ebene abspaltet.
2) Die Schraubung des begleitenden Dreikantes betrachtet bereits E. Vessiot
[L. 9] S. 1383.
*
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berührt. Die Achsen aller dieser Schraubenlinien bilden eine
paraboloidische Regelschar.1)
16. Die Schmiegschraubenlinie hat mit der Kurve (X) nicht nur
das begleitende Dreikant des Punktes X°, sondern auch das des
Punktes = (X/w)0+ gemeinsam, und man wird ver¬
muten, daß die durch die Schmiegschraubenlinie bestimmte Schraubung
das Dreikant des Punktes X° in das des Punktes X* überführt. Das
ist tatsächlich der Fall: Die Achse ($*) der Schmiegschrauben-
linie ist zugleich Schraubungsachse des begleitenden Drei-
kants im Punkte X°, nämlich wenn 0O # 0, eine eigentliche Gerade
wenn <Z>0 = 0, die Tangente des a. K. ira uneigentlichen Punkte der
Richtung c0.2)
Die Regelschar [P] der Achsen der Näherungsschraubenlinien
enthält demnach, wenn 0O t 0, drei ausgezeichnete Geraden: die
Kurventangente (a0) des Punktes X°, die Tangente (sM) des a. K. im
uneigentlichen Punkte der Nebennormalen (c0) sowie die Schraubungs-
achse (s*) und ist durch sie eindeutig bestimmt. Die so jedem
Kurvenpunkte zugeordneten Paraboloide (auch für P 0 = 0) sind zu-
einander kongruent.
§ 6. Begleitende Linienflächen.
17. Sind — M/t(u), — 6 analytische Funktionen eines
Parameters u mit gemeinsamem Existenzbereich, so stellt die Gleichung
mit variablem v.
(1) (K/w) =(Mlw) + v(mliv) eine von den Geraden (m) gebildete
Linienschar [N] mit der Leitkurve (Jf) dar. Es sind die Fälle
zu unterscheiden:
I. (mm'zv) . 0. Die Geraden sind zu einer festen Rich
tung parallel und erfüllen eine einzelne Gerade
oder einen Parallelstrahlenbüschel oder eineu un-
ebenen Zylinder.
II. (mm'w) ¥ 0, (wm'JP) = 0. Der Schnittpunkt Z konseku-
tiver Geraden ist
x) Bei den anisotropen Kurven besteht ein analoger Satz, nur ist die Ord-
nungszahl der Berührung um eins niedriger; die Achsen der Schraubenlinien
erfüllen ein Zylindroid. Dieses läßt sich übrigens durch einen geeigneten Grenz-
übergang in die paraboloidische Schar [P] unseres Satzes überführen, wobei sich
eine Ebene abspaltet.
2) Die Schraubung des begleitenden Dreikantes betrachtet bereits E. Vessiot
[L. 9] S. 1383.
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