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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0023
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven. 23
Es ergibt sich somit das Resultat, daß die Kurven unter I, II, III,
IV b auf Dreh kegeln bzw. Drehzylind ern liegen, die Kurven unter
I und IV a auf gewissen Zylindern 2. O. mit isotropen Erzeugenden,
deren einer als Grenzlage von Drehzylindern bereits in Nr. 13 erkannt ist.
Aber auch der Zylinder (15) bildet die Grenzlage einer
D r e h f 1 ä c h e, nämlich eines Drehkegels: Liegt in der isotropen
Ebene [m] ein parabolischer Kreis (Zf) mit dem uneigentlichen Punkte
Au, legt man durch einen eigentlichen Punkt P von (IP) die Tangente
(5) an (Zf) und durch (b) die zweite isotrope Ebene, welche den a. K.
im Punkte Cu berühren möge, so wird der Kreis (Zf) aus jedem von
P und Cu verschiedenen Punkte S der Geraden P Cu durch einen
Drehkegel (aus einem dieser Punkte durch einen isotropen Kegel)
projiziert. Faßt man den Punkt Cu als Grenzlage der Punkte S' auf,
so kann man den zum Punkte Cu gehörigen Projektionszylinder als
Grenzlage der Schar von Drehkegeln bezeichnen, und dies ist gerade
die Fläche (15). Analytisch folgt dies so: legt man in die Geraden
PAU, b, P Cu die (normierten) Vektoren eines quasinormalen Drei-
kantes, so ist (X/w) = p2 (a/w) + p (b/w) die Gleichung des Kreises
(2f) und 2 (X/h)2 — (X/c) = 0 die des Zylinders durch (Zf) mit Cu als
uneigentlichem Punkte seiner Erzeugenden.
Diese Zylinder, die also durch Projektion eines be-
liebigen parabolischen Kreises (Zf) aus einem (nicht in
dessen Ebene gelegenen) Punkte des a. K. entstehen, bilden
eine Klasse zueinander kongruenter Flächen.
Es liegen somit sämtliche isotropen Kurven mit ebenem
Bilde der Hauptnormalen auf Drehkegeln, Drehzylindern
oder gewissen Grenzlagen von solchen.
Und umgekehrt: Die isotropen Kurven der genannten
Fl ächen haben ebene Bilder der Hauptnormalen.
Zunächst nämlich liegen auf jedem gewöhnlichen oder parabolischen
Drehkegel (17) bzw. (13) zwei Scharen isotroper Kurven, die aus den
Kurven (16 a, b) bzw. (12 a, b) durch die automorphen Ähnlichkeiten
und Drehungen des Kegels hervorgehen und durch die automorphen
Umwendungen des Kegels miteinander vertauscht werden. Im Falle I
des speziellen Öffnungswinkels tg2m = — j sind die Kurven Lyon sehe
Schraubenlinien (Li). Die Drehzylinder (Fall II) enthalten zwei
Scharen isotroper Schraubenlinien (JZ<), die in bekannter Weise aus-
einander liervorgelien. Die Grenzfälle unter I und IV a endlich ent-
halten neben den isotropen Erzeugenden nur eine Schar isotroper
Kurven, die durch automorphe Schiebungen der Flächen ineinander
übergeführt werden.
Es ergibt sich somit das Resultat, daß die Kurven unter I, II, III,
IV b auf Dreh kegeln bzw. Drehzylind ern liegen, die Kurven unter
I und IV a auf gewissen Zylindern 2. O. mit isotropen Erzeugenden,
deren einer als Grenzlage von Drehzylindern bereits in Nr. 13 erkannt ist.
Aber auch der Zylinder (15) bildet die Grenzlage einer
D r e h f 1 ä c h e, nämlich eines Drehkegels: Liegt in der isotropen
Ebene [m] ein parabolischer Kreis (Zf) mit dem uneigentlichen Punkte
Au, legt man durch einen eigentlichen Punkt P von (IP) die Tangente
(5) an (Zf) und durch (b) die zweite isotrope Ebene, welche den a. K.
im Punkte Cu berühren möge, so wird der Kreis (Zf) aus jedem von
P und Cu verschiedenen Punkte S der Geraden P Cu durch einen
Drehkegel (aus einem dieser Punkte durch einen isotropen Kegel)
projiziert. Faßt man den Punkt Cu als Grenzlage der Punkte S' auf,
so kann man den zum Punkte Cu gehörigen Projektionszylinder als
Grenzlage der Schar von Drehkegeln bezeichnen, und dies ist gerade
die Fläche (15). Analytisch folgt dies so: legt man in die Geraden
PAU, b, P Cu die (normierten) Vektoren eines quasinormalen Drei-
kantes, so ist (X/w) = p2 (a/w) + p (b/w) die Gleichung des Kreises
(2f) und 2 (X/h)2 — (X/c) = 0 die des Zylinders durch (Zf) mit Cu als
uneigentlichem Punkte seiner Erzeugenden.
Diese Zylinder, die also durch Projektion eines be-
liebigen parabolischen Kreises (Zf) aus einem (nicht in
dessen Ebene gelegenen) Punkte des a. K. entstehen, bilden
eine Klasse zueinander kongruenter Flächen.
Es liegen somit sämtliche isotropen Kurven mit ebenem
Bilde der Hauptnormalen auf Drehkegeln, Drehzylindern
oder gewissen Grenzlagen von solchen.
Und umgekehrt: Die isotropen Kurven der genannten
Fl ächen haben ebene Bilder der Hauptnormalen.
Zunächst nämlich liegen auf jedem gewöhnlichen oder parabolischen
Drehkegel (17) bzw. (13) zwei Scharen isotroper Kurven, die aus den
Kurven (16 a, b) bzw. (12 a, b) durch die automorphen Ähnlichkeiten
und Drehungen des Kegels hervorgehen und durch die automorphen
Umwendungen des Kegels miteinander vertauscht werden. Im Falle I
des speziellen Öffnungswinkels tg2m = — j sind die Kurven Lyon sehe
Schraubenlinien (Li). Die Drehzylinder (Fall II) enthalten zwei
Scharen isotroper Schraubenlinien (JZ<), die in bekannter Weise aus-
einander liervorgelien. Die Grenzfälle unter I und IV a endlich ent-
halten neben den isotropen Erzeugenden nur eine Schar isotroper
Kurven, die durch automorphe Schiebungen der Flächen ineinander
übergeführt werden.