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https://doi.org/10.11588/diglit.42029#0009
Ramon Lulls Kreisquadratur
9
nimmt er an {suppono), daß die nach Wegnahme des n-Ecks ver-
bleibenden n Kreissegmente (lunulae) zusammen ebenso groß sind wie
einer der n Teile des n-Ecks, aber das soll erst von n>3 ab gel-
ten32.
Mit dieser Festsetzung, die wir kurz als den Segmentsatz
bezeichnen wollen, ist für uns die Kreisquadratur bereits geleistet:
ist fn die (berechenbare) Fläche des einbeschriebenen regelmäßigen
n-Ecks, so wird die Fläche f des Kreises ausgedrückt durch die
Formel
Ist etwa 9 der Mittelwinkel des kennzeichnenden Teildreiecks im
• r2 sin cp .
n-Eck, so ist —L‘.>—- die Dreiecksfläche. Da nun n9 = 2-z wird,
so ergibt sich
(2) f-,*.{* 25* + S2S}.
Dieser Wert strebt für n->oo, d. h. für 9-^0 gegen r2?r; der Seg-
mentensatz ist also zwar im Endlichen falsch, wird aber beim Über-
gang zu Vielecken mit zunehmender Eckenzahl, der auch Lull
vorschwebt, immer besser erfüllt. Im einzelnen ist
ff4 = 2,50 r2; f f5 = 2,65 r2; ff6 = 3,03 r2; ff7 = 3,13 r2; f f8 = 3,18 r2 usw.
Der Segmentensatz gibt also auch aus dem Siebeneck eine leidlich
brauchbare Annäherung, die in gleicher Güte erst wieder vom 360-
Eck mit f3ö0 = 3,15r2 erreicht wird.
Bei seinen beschränkten geometrischen Kenntnissen konnte
Lull auf diesem Wege nicht zum Ziel kommen. Er ging vielmehr
unmittelbar und recht naiv zu Werke. Jedem Teil des einbeschrie-
Zusammenfassungen Z. 244-254 und Z. 264-268. Dort wird die Einteilung
des n-Ecks in die n Teile kurz als divisio maior bezeichnet.
32 So Z. 147—148 am Sechseck: Et suppono, quod sex lunulae, quae sunt
extra d, valeant septimam mensuram aequalem cuilibet de d. Im einzelnen siehe
Z. 230-231 (Viereck), 262-264, 268-274 (Fünfeck, dort wird die Aussage des
Segmentensatzes kurz bezeichnet als divisio minor), 289-291 (Sechseck), 303
bis 304, 325-326 (Siebeneck), 336 (Achteck), ferner die zum Teil noch recht
unklaren allgemeinen Ausführungen Z. 306-324 und 338—363.
33 Dies wird Z. 272—273 für das Fünfeck, Z. 291—293 für das Sechs-
eck, Z. 324—326 für das Siebeneck und Z. 347 für das Achteck auch un-
mißverständlich gesagt.
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nimmt er an {suppono), daß die nach Wegnahme des n-Ecks ver-
bleibenden n Kreissegmente (lunulae) zusammen ebenso groß sind wie
einer der n Teile des n-Ecks, aber das soll erst von n>3 ab gel-
ten32.
Mit dieser Festsetzung, die wir kurz als den Segmentsatz
bezeichnen wollen, ist für uns die Kreisquadratur bereits geleistet:
ist fn die (berechenbare) Fläche des einbeschriebenen regelmäßigen
n-Ecks, so wird die Fläche f des Kreises ausgedrückt durch die
Formel
Ist etwa 9 der Mittelwinkel des kennzeichnenden Teildreiecks im
• r2 sin cp .
n-Eck, so ist —L‘.>—- die Dreiecksfläche. Da nun n9 = 2-z wird,
so ergibt sich
(2) f-,*.{* 25* + S2S}.
Dieser Wert strebt für n->oo, d. h. für 9-^0 gegen r2?r; der Seg-
mentensatz ist also zwar im Endlichen falsch, wird aber beim Über-
gang zu Vielecken mit zunehmender Eckenzahl, der auch Lull
vorschwebt, immer besser erfüllt. Im einzelnen ist
ff4 = 2,50 r2; f f5 = 2,65 r2; ff6 = 3,03 r2; ff7 = 3,13 r2; f f8 = 3,18 r2 usw.
Der Segmentensatz gibt also auch aus dem Siebeneck eine leidlich
brauchbare Annäherung, die in gleicher Güte erst wieder vom 360-
Eck mit f3ö0 = 3,15r2 erreicht wird.
Bei seinen beschränkten geometrischen Kenntnissen konnte
Lull auf diesem Wege nicht zum Ziel kommen. Er ging vielmehr
unmittelbar und recht naiv zu Werke. Jedem Teil des einbeschrie-
Zusammenfassungen Z. 244-254 und Z. 264-268. Dort wird die Einteilung
des n-Ecks in die n Teile kurz als divisio maior bezeichnet.
32 So Z. 147—148 am Sechseck: Et suppono, quod sex lunulae, quae sunt
extra d, valeant septimam mensuram aequalem cuilibet de d. Im einzelnen siehe
Z. 230-231 (Viereck), 262-264, 268-274 (Fünfeck, dort wird die Aussage des
Segmentensatzes kurz bezeichnet als divisio minor), 289-291 (Sechseck), 303
bis 304, 325-326 (Siebeneck), 336 (Achteck), ferner die zum Teil noch recht
unklaren allgemeinen Ausführungen Z. 306-324 und 338—363.
33 Dies wird Z. 272—273 für das Fünfeck, Z. 291—293 für das Sechs-
eck, Z. 324—326 für das Siebeneck und Z. 347 für das Achteck auch un-
mißverständlich gesagt.