DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.42029#0010
10
Cusanus-Studien VII: Jos. E. Hofmann
benen Vielecks läßt er eine Vielecksseite entsprechen und fügt als
Äquivalent der verbleibenden Kreissegmente gemäß dem Segmenten-
satz noch eine weitere Vielecksseite hinzu: das ist eine (in der Viel-
ecksfigur unsichtbare) mathematische Linie! Jetzt behauptet er:
Diese n+ 1 Strecken sind zusammen für n>i3 immer gleich lang34 und
gleich 3:l2 Kr eis durchmess er n35. Diese Aussage will ich als den
Seitens atz bezeichnen. In unserer Ausdrucksweise würde sie so
lauten: Die Größe t = (n+1) • sn hängt überhaupt nicht von cp ab.
Es gilt aber in Wirklichkeit:
(3)
Zu diesem Satz ist Lull durch reines Probieren gekommen.
Er trägt nämlich zunächst einmal vier Seiten s3 des gleichseitigen
Dreiecks hintereinander an (Im = 4s3) und dann sieben Seiten s6
des regelmäßigen Sechsecks (no = 7s6 = 7r) und stellt durch Nach-
messen (mensurando) fest, daß beide Strecken gleich lang sind36.
Genau so verfährt er auch bei den andern Vielecken. Nun gibt es
aber eine sehr merkwürdige rechnerische Begründung für Lulls
Aussage, die sich an Herons Näherungswerte für die Vieleckseiten
anschließen läßt. Wir kennen nämlich die Näherungen s3 = r\/3
~ ^37, s4=rv'2~^38 und s7~*V3~^t- 39. Daraus würde sich tat-
4 5 2 8
34 Im einzelnen wird das zunächst Z. 137—139 für das Dreieck und Z.
148—150 für das Sechseck gesagt, in Z. 150—168 werden beide Ergebnisse
verglichen. Dann gibt Z. 222—228 und Z. 232—237 den Satz am Viereck,
Z. 273—277 am Fünfeck, Z. 293—297 am Sechseck, Z. 326—331 am Sieben-
eck und Z. 364—368 am Achteck. In Z. 393—397 wird das Ergebnis wieder-
holt.
35 Z. 475—476: quae valet tres lineas diametrales et secundam partem unius.
36 Z. 150—168.
37 Eine Anspielung auf die Näherung -\/3~J steht vielleicht bei Platon.
Heron verwendet sie ein einziges Mal: Opera III, ed. Hermann Schöne,
Leipzig 1913, S. 54.
38 Anspielungen auf diese Näherung finden sich — nach Friedrich
Hultsch, Die Näherungswerte irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes,
Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. Göttingen 1893, S. 367—428, insbes. S. 369 u.
372 ff. — schon bei Platon und Aristarch ; Heron legte sie vielleicht sei-
nen Rechnungen in den Opera, ed. Friedrich Hultsch, Leipzig 1864, S. 212
und 226 zugrunde. Vergleiche hierzu Cantor5 I3, Leipzig 1907, S. 398 und
Cusanus-Studien VII: Jos. E. Hofmann
benen Vielecks läßt er eine Vielecksseite entsprechen und fügt als
Äquivalent der verbleibenden Kreissegmente gemäß dem Segmenten-
satz noch eine weitere Vielecksseite hinzu: das ist eine (in der Viel-
ecksfigur unsichtbare) mathematische Linie! Jetzt behauptet er:
Diese n+ 1 Strecken sind zusammen für n>i3 immer gleich lang34 und
gleich 3:l2 Kr eis durchmess er n35. Diese Aussage will ich als den
Seitens atz bezeichnen. In unserer Ausdrucksweise würde sie so
lauten: Die Größe t = (n+1) • sn hängt überhaupt nicht von cp ab.
Es gilt aber in Wirklichkeit:
(3)
Zu diesem Satz ist Lull durch reines Probieren gekommen.
Er trägt nämlich zunächst einmal vier Seiten s3 des gleichseitigen
Dreiecks hintereinander an (Im = 4s3) und dann sieben Seiten s6
des regelmäßigen Sechsecks (no = 7s6 = 7r) und stellt durch Nach-
messen (mensurando) fest, daß beide Strecken gleich lang sind36.
Genau so verfährt er auch bei den andern Vielecken. Nun gibt es
aber eine sehr merkwürdige rechnerische Begründung für Lulls
Aussage, die sich an Herons Näherungswerte für die Vieleckseiten
anschließen läßt. Wir kennen nämlich die Näherungen s3 = r\/3
~ ^37, s4=rv'2~^38 und s7~*V3~^t- 39. Daraus würde sich tat-
4 5 2 8
34 Im einzelnen wird das zunächst Z. 137—139 für das Dreieck und Z.
148—150 für das Sechseck gesagt, in Z. 150—168 werden beide Ergebnisse
verglichen. Dann gibt Z. 222—228 und Z. 232—237 den Satz am Viereck,
Z. 273—277 am Fünfeck, Z. 293—297 am Sechseck, Z. 326—331 am Sieben-
eck und Z. 364—368 am Achteck. In Z. 393—397 wird das Ergebnis wieder-
holt.
35 Z. 475—476: quae valet tres lineas diametrales et secundam partem unius.
36 Z. 150—168.
37 Eine Anspielung auf die Näherung -\/3~J steht vielleicht bei Platon.
Heron verwendet sie ein einziges Mal: Opera III, ed. Hermann Schöne,
Leipzig 1913, S. 54.
38 Anspielungen auf diese Näherung finden sich — nach Friedrich
Hultsch, Die Näherungswerte irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes,
Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. Göttingen 1893, S. 367—428, insbes. S. 369 u.
372 ff. — schon bei Platon und Aristarch ; Heron legte sie vielleicht sei-
nen Rechnungen in den Opera, ed. Friedrich Hultsch, Leipzig 1864, S. 212
und 226 zugrunde. Vergleiche hierzu Cantor5 I3, Leipzig 1907, S. 398 und