Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur absoluten Geometrie II.

(8) XX'2 = f (v,v)
Ist X in Normalkoordinaten gegeben, so ist
(9) F (x,x) = 1, F [x, dx) = 0,
und demgemäß hat auch X-\-dX Normalkoordinaten. Durch analoge
Rechnung wie in I. ergibt sich dann als Linienelement
(10) ds2 = dx\ + dx} + s dx},
d. h. genau wie in (5)
(11) ds2 = f(dx, dx).
Wird in (11) nach (9) dx3 durch dxlf dx2 und x3 durch xv x2
ausgedrückt, so ergibt sich
(12) ds2 = Ari dx2 4-2X12 dxr dx,, XÄ22 dx;,

wo

£Xt X„

1

(13) A

1 — ex2 — ex

1 — ex} A t
-t o 9 1 2
1—£X2 — EX2

1 —£X2
1 — EX2 — EX.

Flächendem ent. — Das Quadrat der „Dreiecksfläche“ dreier
durch ihre Normalkoordinaten gegebenen Punkte X, X', X" wird
analog wie in A. definiert durch
(14) {xxxy = {xxx”y2.
Hat X Normalkoordinaten, so haben auch die Nachbarpunkte Xfl-cZX,
X-)-tZX' solche, da die Gleichungen
(15) F [x, x) = 1, F [x, dx) — 0, F [x, dx') — 0
erfüllt sind. Also ergibt sich nach (14) für das Flächenelement

(16)

do2 —

/y> ry
•A,' tXy eA/ ß
dxx dx2 dx3
dx' dx'2 dx'3

Hieraus folgt, wenn zunächst e2 = 1 vorausgesetzt wird,

(17) do2 -

F [x, x)
F [dx, x)
F [dx, x)

F(x, dx)
F [dx, dx)
F [dx, dx)

F [x, dx')
F [dx, dx')
F [dx, dx')

i F [dx, dx) F [dx, dx')
| F [dx', dx) F [dx', dx')

= s(dxdx')21 + e [dxdx')2 + [dxdx')},
d. h.
(18) (Zo2 = F [(dxdx'), (dxdx')),
das Quadrat des Flächenelementes ist gleich der aus den
Determinanten [dxdx')i [i = 1,2,3) der Differentialien dxi, dxi
gebildeten Maßfunktion F.
Stellt man die Orthogonalitätsbedinguug A. (12) für die beiden
Geraden ds und ds' auf, die X mit X + ^X und Xfl-tZX' verbinden,
so ergibt sich nach leichten Umformungen

(19)

/' [dx, dx') = eF (dx, dx') = 0,