Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

Abb. 5.

gehören

~ß

Spalte liegen den

den Zyklus mit demjenigen der hyperbolischen

? — «
vierten

dem
Lot
drei

einem Zyklus an, der sich leicht aus

ß
Katheten der zweiten

Das sind aber die Beziehungen zwischen den
Stücken eines sphärischen Dreiecks mit der Hypo-
tenuse a, den Katheten und y und den Win-
keln ?—2 und ß.
Hätte man statt /z ? —eingeführt, so hätte
sich auf dieselbe Weise ergeben ein Dreieck mit
der Hypotenuse ß, den Katheten 2 und y und den
Winkeln — u und a.
Dieselben beiden sphärischen Dreiecke erhält
Lobatschefskij durch räumliche Betrachtungen, in-
Ebene des hyperbolischen Dreiecks ABC in A das

? - A
Die Winkel der
Spalte gegenüber.
Vergleicht man
Ebene, so folgt der Satz:

— a

er auf der
errichtet und durch B und C die Parallelen dazu zieht. Diese
Linien treffen eine Kugel in Punkten, welche die Ecken des
ersten der beiden Dreiecke sind. Das zweite folgt dann aus Sym-
metriegründen.1)
Beide Dreiecke
Figur 3 ergibt:
a
Q _ 'S)


Zu jedem hyperbolischen rechtwinkligen Dreieck ge-
hört ein sphärisches, dessen Seiten die Komplemente der
Parallelwinkel zu den Seiteu des ersten, dessen Winkel die
Komplemente der Winkel des ersten sind. Die beiden
Winkel sind noch zu vertauschen. Es gehört also zu: c a b
X /z das sphärische Dreieck ™ — y, — a, Z?— ß, — ™ — 2.
Die fünf sphärischen Dreiecke kann man ebenfalls so Zusammen-
legen, daß ihre Hypotenusen ein geschlossenes Fünfeck bilden. Die
angegebene Reihenfolge bleibt erhalten, die ersten zwei zeigt Figur 6.2)

E Vgl. Fr. Engel, Lobatschefskij, Leipzig 99, § 136 der Neuen Anfangs-
gründe.
2) Vgl. Hessenberg, Ebene u. sphär. Trigonometrie. Berlin u. Leipzig. § 38.