Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Samson Breuer:

(10)



■■■0 = 2,3 /<),

so ist 0} (x) eine ganze rationale Funktion n-l-ten Grades der Varia-
bein x, und ihre n Koeffizienten dulden $p2, da sich die rechte Seite
von (10) bei Anwendung von (7) nicht ändert. Da aber
do .Czo,’t:'.;»-i)
ist, so kann man jede beliebige rationale Funktion der kn Unbe-
stimmten x^ auch als rationale Funktion der n Unbestimmten x^
und der (& — 1) n Koeffizienten der k—1 Funktionen 0. (x) schreiben,
kann im besonderen also auch jede rationale Funktion der x^\ die $ß2
duldet, als rationale Funktion der genannten Koeffizienten und der q>v
(8) darstellen, d. h.: die Größen cpv (8) bilden zusammen mit den
Koeffizienten der Funktionen 0 (x) (10) eine Minimalbasis für den
Invariantenkörper der Permutationsgruppe 5ß2, w. z. b. w.
[Die Einfachheit dieser Überlegung tritt noch mehr hervor, wenn
man beachtet, daß die Gleichung (x') — 0 „die GALOissche Gruppe
besitzt“, desgleichen die intransitive Gleichung (a;) (x) .... fk (a;) = 0
die intransitive Gruppe ^ß2, und daß die einzelnen Faktoren der letz-
teren Gleichung aus der ersteren „durch die Tschirnhausen-Transfor-
mationen (10) hervorgehen“.]
Als Beispiel mögen die zyklischen Gruppen
(12) = (a^, x%\ xf)v, = (a^, x^, xf)v x^\ xf)v
(y = 0, 1, 2)
betrachtet werden; zur Vereinfachung schreiben wir xv statt a;^, und
yv statt x^\ Dann bilden
(1 Q\ _ X0 + + ^2 _ 3 X0 ?2_
O vt'Q I vV2 ~i ^2 L^0
f (V^) (ü~^2j (^2~~^o)
——-g- x0 Xj^x^X2 x2x0
wobei xv — xv — cp0 gesetzt ist, eine Minimalbasis für die Invarianten
gegenüber d. h. für die zyklischen Funktionen der xv; beispiels-
weise ist
(14) zl = (a;0—a;1)(a;1—a;2)(a;2—a;0)= 18 9?2 (<p2+3