DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43386#0021
Verallgemeinerung eines von A. Loewy stammenden Reziprozitätssatzes usw. 21
eine irreduzible Funktion erster Art in 51, so ist auch
yj(X) = X Jra1 X .-\-an
(allgemeiner xn-\-apf F1“1 + •.. . + <Ff) irreduzibel und von erster Art.“
und ferner eine Bemerkung, die wir für unsere Zwecke folgendermaßen
formulieren: „Ist ß in bezug auf 51 vom Exponenten v, y in bezug auf
$ von erster Art, so ist der Grad von y in bezug auf $ (jf ) gleich
dem Grad von y in bezug auf ß (ß)“.
Die beiden angeführten Sätze benutzen wir zunächst zum Beweise
o
eines Hilfssatzes, auf dem unsere späteren Schlüsse beruhen und der
dem von Herrn A. Loewy aus seinem Reziprozitätssatz gefolgerten,
sog. Kronecker-Kneserschen Satz bei Zahlkörpern entspricht:
erhalten:
=n
Art’) ß (ct23' , ßp ), der aus 51 durch Adjunktion von a‘
steht. Für seinen Grad gilt die Gleichung: , ßv
St ( f)] ■ l.fi (/) : fi] = «
zitierten Bemerkung [cd3' : ,
geführten Satz [otJ
[$(//);$ -
(/))] = [Z
n • m'.
Andererseits ist | ß (cX, ßv )
= m ■ \_ßv : 5? (ct23' )], und es ergibt sich ebenso wie oben, falls man mit
n' den reduzierten Grad und mit v' den Exponenten von ß in bezug
auf $?(a) bezeichnet, daß [/F : ß (ct23^)] = [/F : 51 («)] = [/F : (ct)]
ist. Es besteht somit in der Tat für n' die Gleichung m • n' = n - m'.
Schließlich ist: [ß (a, ßy.$] = (ß) :$]•[«:$ (/?)] = 9^7 •
= [51 (ct) : • [ß : 51 (a)j = mp/l ■ npv'-
Also n m' p1 1 11 = m n' p!< ! ’ oder wegen m n' — n m' folgt p + v'
= v-\- p, wie behauptet wurde.
Hilfssatz: Ist ct bzw. ß in bezug auf 51 vom reduzierten
Grade m bzw. n und vom Exponenten p bzw. v,
so besitzt, falls ct in bezug auf 51 (/>) den reduzier-
ten Grad m' und den Exponenten^' hat, ß in bezug
auf 51 (a) den reduzierten Grad n' und den Expo-
nenten v', wobei n' und v' durch die Gleichungen:
m n' — nm' und p-\- v' = v p' bestimmt sind.
Beweis: Wir betrachten zunächst den Erweiterungskörper erster
und ßp ent-
. rf2)=kAt:
51 (ßp )]. Nun ist aber nach der oben
| = [ct2" : 51 (/>)], ferner nach dem an-
= m', sodaß wir
b Ein Erweiterungskörper heißt von erster Art, wenn er nur Elemente erster
Art enthält. Ein Körper, der durch Adjunktion von Elementen erster Art erzeugt
wird, ist stets von erster Art.
2) [k (a23‘ > ßV ) : $] hes: Grad von ). über 5?.
eine irreduzible Funktion erster Art in 51, so ist auch
yj(X) = X Jra1 X .-\-an
(allgemeiner xn-\-apf F1“1 + •.. . + <Ff) irreduzibel und von erster Art.“
und ferner eine Bemerkung, die wir für unsere Zwecke folgendermaßen
formulieren: „Ist ß in bezug auf 51 vom Exponenten v, y in bezug auf
$ von erster Art, so ist der Grad von y in bezug auf $ (jf ) gleich
dem Grad von y in bezug auf ß (ß)“.
Die beiden angeführten Sätze benutzen wir zunächst zum Beweise
o
eines Hilfssatzes, auf dem unsere späteren Schlüsse beruhen und der
dem von Herrn A. Loewy aus seinem Reziprozitätssatz gefolgerten,
sog. Kronecker-Kneserschen Satz bei Zahlkörpern entspricht:
erhalten:
=n
Art’) ß (ct23' , ßp ), der aus 51 durch Adjunktion von a‘
steht. Für seinen Grad gilt die Gleichung: , ßv
St ( f)] ■ l.fi (/) : fi] = «
zitierten Bemerkung [cd3' : ,
geführten Satz [otJ
[$(//);$ -
(/))] = [Z
n • m'.
Andererseits ist | ß (cX, ßv )
= m ■ \_ßv : 5? (ct23' )], und es ergibt sich ebenso wie oben, falls man mit
n' den reduzierten Grad und mit v' den Exponenten von ß in bezug
auf $?(a) bezeichnet, daß [/F : ß (ct23^)] = [/F : 51 («)] = [/F : (ct)]
ist. Es besteht somit in der Tat für n' die Gleichung m • n' = n - m'.
Schließlich ist: [ß (a, ßy.$] = (ß) :$]•[«:$ (/?)] = 9^7 •
= [51 (ct) : • [ß : 51 (a)j = mp/l ■ npv'-
Also n m' p1 1 11 = m n' p!< ! ’ oder wegen m n' — n m' folgt p + v'
= v-\- p, wie behauptet wurde.
Hilfssatz: Ist ct bzw. ß in bezug auf 51 vom reduzierten
Grade m bzw. n und vom Exponenten p bzw. v,
so besitzt, falls ct in bezug auf 51 (/>) den reduzier-
ten Grad m' und den Exponenten^' hat, ß in bezug
auf 51 (a) den reduzierten Grad n' und den Expo-
nenten v', wobei n' und v' durch die Gleichungen:
m n' — nm' und p-\- v' = v p' bestimmt sind.
Beweis: Wir betrachten zunächst den Erweiterungskörper erster
und ßp ent-
. rf2)=kAt:
51 (ßp )]. Nun ist aber nach der oben
| = [ct2" : 51 (/>)], ferner nach dem an-
= m', sodaß wir
b Ein Erweiterungskörper heißt von erster Art, wenn er nur Elemente erster
Art enthält. Ein Körper, der durch Adjunktion von Elementen erster Art erzeugt
wird, ist stets von erster Art.
2) [k (a23‘ > ßV ) : $] hes: Grad von ). über 5?.