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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0012
12
Alfred Loewy:
sonderen die hk Ersetzungen von qv q2, . .Qk durch ov q2,. . Qk_v Qki>
wobei Qki alle hk Wurzeln von Xk (x-, qv q2, ..q^) = 0 durchläuft.
Es ist also /j, (2i’ • • ■> Qk—v Qki) ~ Mr (öl’ Ö2’ • • •’ öi—i’ Qki) = oder
anders ausgedrückt: Die Gleichung /ir (qv q2, ..2/._1, x) = c von höch-
stens (hk — l)tem Grade in x wird durch die sämtlichen 7^. verschiedenen
Wurzeln von Xk (x-, ov q2, ..2i-i) = 0 befriedigt. Da die Gleichung
,'<r (öi’ Ö2> •••’ Qt-v x) = c mehr Wurzeln besitzt, als ihr Grad ge-
stattet, muß sie eine von x freie Identität sein. Man erhält also
7Ar (öl- Ö2’ • • •’ öi—i) — c ’ das heißt: c gehört dem Körper (P; qv q2, ..2Z._1)
an. Zu den s Transmutationen, die den Wert c von /z (@t, q2, ..pfc)
nicht ändern, gehören weiter diejenigen hk-i • hk, die q2, . .Qj.^, Qk
durch qv q2, ..., Qki ersetzen, wobei Qk-Xi alle 7^._x Wurzeln von
Kt_i (x', Qi, q2> • • ■> Qk-2) — 0 und Qki alle Wurzeln sämtlicher Gleichungen
X}. (^1 öi’ Ö2’ • • •? öi—2> öi-id = 0 durchläuft. Hieraus folgt, da sich be-
reits u (qv q2, ..., 21-u öi) = Mr (öl’ Ö2’ • • • ’ öi—1) = c ergeben hatte, daß
/zr (öl’ Ö2’ • • ■ ’ öi—2’ öi—1%) = c is^ Die Gleichung /nr (px, q2,..., m._2, x) — c,
die höchstens vom Grade (7^—1 ~ 1) i-sE wird demnach durch die
hk_i verschiedenen Wurzeln von X^ (x; qv q2, ..Qk-2) = 0 befriedigt,
also durch mehr Wurzeln, als ihr Grad gestattet. Mithin muß
Äh- (öl’ Ö2’ • ■ •> öl—2’ x) ^rei v°n x, also /zr (21, 22? • • •> Ö1-2) = c sein; das
heißt: c gehört bereits dem Körper (P; q2, ..., Qk-2) aD- Benützt man
nunmehr die hk-2-hk-i' ^i- uach Voraussetzung zulässigen Transmutationen
der besonderen Form Ö2 • • • Ö1-4 Ö1--3 Ö1-2 Ö1-1 öi A wobei pfc_9-
\Ö1 Ö2 • • • Ö1-4 öl—3 öl—2i Qk-li Qki/
alle Wurzeln der Gleichung Xk_2 (x', qv q2, ..21-3) = 0; öi-ü alle Wurzeln
sämtlicher Gleichungen Xk-i (x; 2i> Ö2’ • • •’ Ö1-3’ Ö1-2D = 0 un(^ Qki aile
Wurzeln sämtlicher Gleichungen Xk (x; 2i, 2-2» • • •’ Ö1--3» öi-2w Qk-u) — 0
durchläuft, so ergibt sich aus /a.r (qx, q2, . . ., 21-3’ Qk-2) = c> daß
auch /Jtr (21, 22’ • • •’ öi-3’ Qk-2i) = c isb Mithin wird die Gleichung
Äß- (öl’ Ö2’ • • Ö1--3’ x) " c’ die höchstens vom Grade h]c-2— 1 i‘sh durch
sämtliche 7z7._2 verschiedene, Wurzeln von Xk_2 (x; qv q2, ..Qk-%) = 0
befriedigt; hieraus folgt, daß /cir (ql, q2, • ■ Qk-3> x) frei von x sein muß,
also p,r (21, Ö2’ • • •’ Ö1-3) = c wird. So fortfahrend schließt mau weiter,
daß /,tr (2j, 22’ • • •’ Ö1-3) auch Ö1-3’ Ö1-4 • • •’ öi nicht enthält und c daher
dem Körper P angehört. Hiermit ist der Satz 3 bewiesen.
Besitzt eine rationale Funktion fi (px, q2, . . q^) der Größen
öi’ Ö2’ • • •; öl mit Koeffizienten aus P, wie wir jetzt voraussetzen
wollen, einen Wert c aus dem Körper P, so gestattet die Gleichung
/d (2x, 2-2’ • • •’ öi) — c = 0 als richtige Gleichung mit Koeffizienten aus P
nach Satz 2 alle s Transmutationen der Dirigenten q±, q2, . . Qk des
Körpers (P; q^, q2, ..., 21), man hat also // (2^, 22ü • • •’ öid — c = 0 oder
Alfred Loewy:
sonderen die hk Ersetzungen von qv q2, . .Qk durch ov q2,. . Qk_v Qki>
wobei Qki alle hk Wurzeln von Xk (x-, qv q2, ..q^) = 0 durchläuft.
Es ist also /j, (2i’ • • ■> Qk—v Qki) ~ Mr (öl’ Ö2’ • • •’ öi—i’ Qki) = oder
anders ausgedrückt: Die Gleichung /ir (qv q2, ..2/._1, x) = c von höch-
stens (hk — l)tem Grade in x wird durch die sämtlichen 7^. verschiedenen
Wurzeln von Xk (x-, ov q2, ..2i-i) = 0 befriedigt. Da die Gleichung
,'<r (öi’ Ö2> •••’ Qt-v x) = c mehr Wurzeln besitzt, als ihr Grad ge-
stattet, muß sie eine von x freie Identität sein. Man erhält also
7Ar (öl- Ö2’ • • •’ öi—i) — c ’ das heißt: c gehört dem Körper (P; qv q2, ..2Z._1)
an. Zu den s Transmutationen, die den Wert c von /z (@t, q2, ..pfc)
nicht ändern, gehören weiter diejenigen hk-i • hk, die q2, . .Qj.^, Qk
durch qv q2, ..., Qki ersetzen, wobei Qk-Xi alle 7^._x Wurzeln von
Kt_i (x', Qi, q2> • • ■> Qk-2) — 0 und Qki alle Wurzeln sämtlicher Gleichungen
X}. (^1 öi’ Ö2’ • • •? öi—2> öi-id = 0 durchläuft. Hieraus folgt, da sich be-
reits u (qv q2, ..., 21-u öi) = Mr (öl’ Ö2’ • • • ’ öi—1) = c ergeben hatte, daß
/zr (öl’ Ö2’ • • ■ ’ öi—2’ öi—1%) = c is^ Die Gleichung /nr (px, q2,..., m._2, x) — c,
die höchstens vom Grade (7^—1 ~ 1) i-sE wird demnach durch die
hk_i verschiedenen Wurzeln von X^ (x; qv q2, ..Qk-2) = 0 befriedigt,
also durch mehr Wurzeln, als ihr Grad gestattet. Mithin muß
Äh- (öl’ Ö2’ • ■ •> öl—2’ x) ^rei v°n x, also /zr (21, 22? • • •> Ö1-2) = c sein; das
heißt: c gehört bereits dem Körper (P; q2, ..., Qk-2) aD- Benützt man
nunmehr die hk-2-hk-i' ^i- uach Voraussetzung zulässigen Transmutationen
der besonderen Form Ö2 • • • Ö1-4 Ö1--3 Ö1-2 Ö1-1 öi A wobei pfc_9-
\Ö1 Ö2 • • • Ö1-4 öl—3 öl—2i Qk-li Qki/
alle Wurzeln der Gleichung Xk_2 (x', qv q2, ..21-3) = 0; öi-ü alle Wurzeln
sämtlicher Gleichungen Xk-i (x; 2i> Ö2’ • • •’ Ö1-3’ Ö1-2D = 0 un(^ Qki aile
Wurzeln sämtlicher Gleichungen Xk (x; 2i, 2-2» • • •’ Ö1--3» öi-2w Qk-u) — 0
durchläuft, so ergibt sich aus /a.r (qx, q2, . . ., 21-3’ Qk-2) = c> daß
auch /Jtr (21, 22’ • • •’ öi-3’ Qk-2i) = c isb Mithin wird die Gleichung
Äß- (öl’ Ö2’ • • Ö1--3’ x) " c’ die höchstens vom Grade h]c-2— 1 i‘sh durch
sämtliche 7z7._2 verschiedene, Wurzeln von Xk_2 (x; qv q2, ..Qk-%) = 0
befriedigt; hieraus folgt, daß /cir (ql, q2, • ■ Qk-3> x) frei von x sein muß,
also p,r (21, Ö2’ • • •’ Ö1-3) = c wird. So fortfahrend schließt mau weiter,
daß /,tr (2j, 22’ • • •’ Ö1-3) auch Ö1-3’ Ö1-4 • • •’ öi nicht enthält und c daher
dem Körper P angehört. Hiermit ist der Satz 3 bewiesen.
Besitzt eine rationale Funktion fi (px, q2, . . q^) der Größen
öi’ Ö2’ • • •; öl mit Koeffizienten aus P, wie wir jetzt voraussetzen
wollen, einen Wert c aus dem Körper P, so gestattet die Gleichung
/d (2x, 2-2’ • • •’ öi) — c = 0 als richtige Gleichung mit Koeffizienten aus P
nach Satz 2 alle s Transmutationen der Dirigenten q±, q2, . . Qk des
Körpers (P; q^, q2, ..., 21), man hat also // (2^, 22ü • • •’ öid — c = 0 oder