Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Alfred Loewy:

mutation AB hat also, wenn A und B Transmutationen sind, die Eigen-
schaft, selbst eine Transmutation zu sein. Ist aber ein System von
Permutationen so beschaffen, daß man durch symbolische Multiplikation,
die Produktbildung irgend zweier Permutationen des Systems, niemals
aus dem System herauskommt, so bildet das System eine Permutations-
gruppe. Hiermit ist unser Satz bewiesen.
§ 2.
Die Galoissche Gruppe einer Gleichung /'(a;) = 0 mit Koeffizienten
aus einem Körper P und den n Wurzeln ax, a2,..., an als Transmuta-
tionssystem der Dirigenten a1? a2,..., an des Körpers (P; ax, a2, ..., aft).
— Charakteristische Eigenschaften der Galoisschen Gruppe einer Gleichung.
Die Sätze des vorigen § sollen nunmehr auf eine beliebige Gleichung
f (a?) = 0 vom nten Grade mit Koeffizienten aus P angewandt werden.
Von der Gleichung f (a;) = 0 soll nur vorausgesetzt werden, daß sie
lauter verschiedene Wurzeln ax, a2, ..., an besitzt. Um zur Galois-
schen Gruppe von f (x) — 0 zu gelangen, betrachten wir das Trans-
mutationssystem der Dirigenten aif a2, ..., an des Körpers (P; a1; a2,
..., a,() und bilden zu diesem Zweck eine Gleichungskette, die wir als
die durch die Wurzeln a1,a2, ..., der Gl eichung f (x) = 0
festgelegte Gleichungskette bezeichnen können und die folgender-
maßen zu definieren ist:
Man suche die im Körper P irreduzible Gleichung fx (a?) = 0 mit
Koeffizienten aus P, die ctx zur Wurzel hat. Weiter bestimme man die
im Körper (P; ct-J irreduzible Gleichung f^tx-, «i) = 0, die durch a2 be-
friedigt wird. Hierauf suche man die im Körper (P; ct2) irre-
duzible Gleichung f3 (x; ax, a2) = 0, die a3 zur Wurzel haf, usw.
schließlich die im Körper (P; ctj, ct2, ..., irreduzible Gleichung
fn (x; ax, a2,..an_j) = 0, die an zur Wurzel hat. Die in den Körpern P
bzw. (P; aj, (P; ax, a2), ... (P; 04, a2,..irreduziblen Gleichungen
fx (P) = 0, f2 (x-, aj = 0, f3 (x; ctp a2) =0, ..., fn (x; av a2, ..an_x) = 0,
die durch ax beziehungsweise ct2, a3, . .., an befriedigt werden, nennen
wir die durch die Wurzeln ax, a2, ..an der Gleichung f\x) = Q
festgelegte Gleichungskette.
Für die Größen Qz, •••> Qk ^es vorigen § werden in diesem §
die Gleichungswurzeln a1, a2, ..., an von f (x) = 0 treten, und die
Gleichungskette Xx (a;) = 0, X2 (a;; @x) = 0, X3 (x; qx, q2~) = 0, ...
X7. (x; g2, ..., Qk_1') = 0 wird durch fx (af) = 0, /2 (x; ax) = 0,
/:3 ; @i> @2) ~ D,..., fn (x; ctx, ct2,..., = 0 ersetzt. Sind jetzt ctx^. ci2^,
..., ani Größen, die successiv die Gleichungskette fx (x) — 0, f2 (a;; ct17) = 0,
/3 (a;; otn, a2i) - 0, ..., fn (x- axi, a2i, ..., an_1{) = 0 befriedigen, so kann