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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0036
36
Alfred Loewy:
x.99! (2i’ 22? • • •? 2ä) 992 (2i? 22? • • •? 20 • • • Tk (2i> 22? • • ■? Qk))
eine automorphe Transmutation aus (E>, so existiert in S stets eine
weitere automorphe Transmutation
2^ — ^2i 22 • • • Qk A
\pi (2i> 22’ • • •’ 2*) r2 (2i> 22? • • •? 2fc) • • • vk (2i? 22’ ■ • •? 2z?)/’
so daß für die k rationalen Funktionen Vj (@x, q2, ..., qj.) (j = 1, 2, .
von o2? •••? Qk mit Koeffizienten aus P die Gleichungen bestehen:
(1) 2; = vj (<P1 (21? 22 ? • • • ’ 20? 9A (21? 22? • • •? 20? • • •? <Pk (2i? 22? • • •; 2z-))
(J = 1, 2, .. k) und
(2) 2;= Vj (yi (2i? 22 ? • • •’ 2/0, ^2 (2i’ 22 ? • • •? 2/.-)? • • •> vk (2i> 22? ■ • •> Qk))
2, ..., k).
Demnach ist das Produkt der automorphen Transmutationen
Z Sa — SaZ = ( 2i 22 • • • 2zA unc] % ist die inverse Tran sm u-
( \2i 22 • • • 2k)
tation von Sa.
Zum Beweise setzen wir
(a) Qja = (pj (2i? 22- •••? 20 0 = 1’ 2,
und bezeichnen also die gegebene automorphe Transmutation Sa mit
A2i 22 • • - Qk 'Y p)ie Größen pia, o2a, ..., Qka sind nach ihrer Defi-
\2ia 22a • • • QkaJ
nition rationale Funktionen von q2, .. Qk, und sie genügen ferner
nach § 1, da Sa eine Transmutation aus S ist, der Kette irreduzibler
Gleichungen (z) = 0, X2 (x-, Qla) = 0, Z3 (x; ola, o2a) = 0,
Xk(x; pla, Q2a^ ..., 2z-ia) = 0- Mithin folgt nach Satz 4X des § 3, daß
sich auch die Größen 21 ? 22? • • • ? 2fc a^s rationale Funktionen von
2ia? 22a? •••? Qka darstellen lassen; es gibt also Gleichungen
(d) Qj = r; Q%a ? • • • ? Qka) 0 = 1? 2, ..., 7v),
wobei die irrationale Funktionen ihrer Argumente @la, @2a?---? Qka
mit Koeffizienten aus P bedeuten. Führt man in das Gleichungs-
system (b) für die Größen q.(( ihre Werte aus (a) ein, so hat man die
in II angegebenen Relationen (1). Ersetzt man weiter in (a) die Größen
q. durch ihre Werte aus (b), so erhält man
(c) Qja~ Tj (D (2ia? 22a? • • •? 2fta)? ^2 (21a? 22a? • • •? 2fca)? • • ■? (21a? 22a? • • •? Qka'))
DnSa=((-)1 ' (T- A ejne Transmutation aus® ist, ergibt sich
^2ia 22a • • • Qka/
nach dem Hilfssatz auf Seite 27, daß ( ^2a ’ ‘ ‘ eine Transmu-
’ \2i 22 ■■■Qk J
tation der Dirigenten pla, p2a? •■•? Qka des Körpers (P; Qla, 22a? • • • ? Qka)
ist. Infolgedessen muß sich die zuletzt genannte Transmutation auf
Alfred Loewy:
x.99! (2i’ 22? • • •? 2ä) 992 (2i? 22? • • •? 20 • • • Tk (2i> 22? • • ■? Qk))
eine automorphe Transmutation aus (E>, so existiert in S stets eine
weitere automorphe Transmutation
2^ — ^2i 22 • • • Qk A
\pi (2i> 22’ • • •’ 2*) r2 (2i> 22? • • •? 2fc) • • • vk (2i? 22’ ■ • •? 2z?)/’
so daß für die k rationalen Funktionen Vj (@x, q2, ..., qj.) (j = 1, 2, .
von o2? •••? Qk mit Koeffizienten aus P die Gleichungen bestehen:
(1) 2; = vj (<P1 (21? 22 ? • • • ’ 20? 9A (21? 22? • • •? 20? • • •? <Pk (2i? 22? • • •; 2z-))
(J = 1, 2, .. k) und
(2) 2;= Vj (yi (2i? 22 ? • • •’ 2/0, ^2 (2i’ 22 ? • • •? 2/.-)? • • •> vk (2i> 22? ■ • •> Qk))
2, ..., k).
Demnach ist das Produkt der automorphen Transmutationen
Z Sa — SaZ = ( 2i 22 • • • 2zA unc] % ist die inverse Tran sm u-
( \2i 22 • • • 2k)
tation von Sa.
Zum Beweise setzen wir
(a) Qja = (pj (2i? 22- •••? 20 0 = 1’ 2,
und bezeichnen also die gegebene automorphe Transmutation Sa mit
A2i 22 • • - Qk 'Y p)ie Größen pia, o2a, ..., Qka sind nach ihrer Defi-
\2ia 22a • • • QkaJ
nition rationale Funktionen von q2, .. Qk, und sie genügen ferner
nach § 1, da Sa eine Transmutation aus S ist, der Kette irreduzibler
Gleichungen (z) = 0, X2 (x-, Qla) = 0, Z3 (x; ola, o2a) = 0,
Xk(x; pla, Q2a^ ..., 2z-ia) = 0- Mithin folgt nach Satz 4X des § 3, daß
sich auch die Größen 21 ? 22? • • • ? 2fc a^s rationale Funktionen von
2ia? 22a? •••? Qka darstellen lassen; es gibt also Gleichungen
(d) Qj = r; Q%a ? • • • ? Qka) 0 = 1? 2, ..., 7v),
wobei die irrationale Funktionen ihrer Argumente @la, @2a?---? Qka
mit Koeffizienten aus P bedeuten. Führt man in das Gleichungs-
system (b) für die Größen q.(( ihre Werte aus (a) ein, so hat man die
in II angegebenen Relationen (1). Ersetzt man weiter in (a) die Größen
q. durch ihre Werte aus (b), so erhält man
(c) Qja~ Tj (D (2ia? 22a? • • •? 2fta)? ^2 (21a? 22a? • • •? 2fca)? • • ■? (21a? 22a? • • •? Qka'))
DnSa=((-)1 ' (T- A ejne Transmutation aus® ist, ergibt sich
^2ia 22a • • • Qka/
nach dem Hilfssatz auf Seite 27, daß ( ^2a ’ ‘ ‘ eine Transmu-
’ \2i 22 ■■■Qk J
tation der Dirigenten pla, p2a? •■•? Qka des Körpers (P; Qla, 22a? • • • ? Qka)
ist. Infolgedessen muß sich die zuletzt genannte Transmutation auf