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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0038
38 Alfred Loewy:
Produkt Sa Sb definieren. Für diese Komposition gelten die vier
Gruppenpostulate:
1. Die Produktbildung führt nicht aus dem Kreise der automorphen
Transmutationen heraus. Sei nämlich neben Sa auch noch Sb:
( Qi Qz • • • Qk h
V/h (21? 22? • • •? 27?) Wz (2i? 22? • • •? 27?) • • • Wie (2i? 22? • • •? 2z?)/
eine automorphe Transmutation aus <5, wobei i/u g2, Qk)
(j = 1, 2, ... ,1c) rationale Funktionen von o1; q2, q*. mit Koeffi-
zienten aus P bedeuten, so ergibt sich Sa Sb:
( Qi 22
(Wi (2i> 22? • • ■? Qk), Wz, • • ■? Vz?) Wz (Wi (21? Qz, • • •? Qk), Wz, • • •? Wk) • • •
• • • 2z? A
Wk (Wi (21? 22? • • •? Qk\ Wz, • • •? Wk)/
also ebenfalls eine automorphe Transmutation.
2. Ist Sc irgendeine dritte automorphe Transmutation aus <S:
3 =f 21 22 • • • Qk
c kZi (2i? 22? • • •? 2fc) Z2 (21? Qz, • ••? Qk) ••• Xk (Qi, Qz> ■ • Qk)
so folgt: Sa (Sb Sc) = (8a Sb) Sc -
( 21
\Wi (Vh (Zi? Z2> • • •? Zz?)? V'2 (Zi? Z2? • • •? Zä)? • • •? ^z? (Zi? Z2> • • •? Zä)) • • •
•• • Qk \
- - -Wk (Wi (Z1? Xz, • • •> Xk), Wz (Zi? Xz, ■ • •? Xk), • • •? Wk (Zi? Z2? • • •? ZJ)/
Für die Komposition der automorphen Transmutationen gilt also das
assoziative Gesetz.
3. Unter den automorphen Transmutationen von befindet sich
die identische Transmutation E — ( 22 • • • 2/? j (]je notwendig stets in
\2i Qz • • • Qk/
<5 enthalten ist.
4. Ist Sa eine automorphe Transmutation aus S, so befindet sich,
wie in II gezeigt, unter den automorphen Transmutationen von S stets
auch die rechtshändige Inverse Z zu Sa, für die SaZ=E gilt.
Die Bedingungen 1—4 sind aber charakteristisch dafür, daß die
Gesamtheit aller in befindlichen automorphen Transmutationen eine
Gruppe1) bildet. Hiermit ist der Satz 1 bewiesen.
Das in der maximalen automorphen Transmutationsgruppe zu
jedem Element Sa vorhandene rechtshändige inverse, durch SaZ—E
definierte Element Z ist, wie aus den einfachsten Gruppeneigenschaften
folgt und in unserem Fall auch sofort unmittelbar ersichtlich ist (vgl.
Angaben unter II auf Seite 36), auch gleichzeitig linkshändiges
b Fgl. hierzu etwa mein Lehrbuch der Algebra I. Grundlagen der Arith-
metik, Leipzig 1915, S. 25.
Produkt Sa Sb definieren. Für diese Komposition gelten die vier
Gruppenpostulate:
1. Die Produktbildung führt nicht aus dem Kreise der automorphen
Transmutationen heraus. Sei nämlich neben Sa auch noch Sb:
( Qi Qz • • • Qk h
V/h (21? 22? • • •? 27?) Wz (2i? 22? • • •? 27?) • • • Wie (2i? 22? • • •? 2z?)/
eine automorphe Transmutation aus <5, wobei i/u g2, Qk)
(j = 1, 2, ... ,1c) rationale Funktionen von o1; q2, q*. mit Koeffi-
zienten aus P bedeuten, so ergibt sich Sa Sb:
( Qi 22
(Wi (2i> 22? • • ■? Qk), Wz, • • ■? Vz?) Wz (Wi (21? Qz, • • •? Qk), Wz, • • •? Wk) • • •
• • • 2z? A
Wk (Wi (21? 22? • • •? Qk\ Wz, • • •? Wk)/
also ebenfalls eine automorphe Transmutation.
2. Ist Sc irgendeine dritte automorphe Transmutation aus <S:
3 =f 21 22 • • • Qk
c kZi (2i? 22? • • •? 2fc) Z2 (21? Qz, • ••? Qk) ••• Xk (Qi, Qz> ■ • Qk)
so folgt: Sa (Sb Sc) = (8a Sb) Sc -
( 21
\Wi (Vh (Zi? Z2> • • •? Zz?)? V'2 (Zi? Z2? • • •? Zä)? • • •? ^z? (Zi? Z2> • • •? Zä)) • • •
•• • Qk \
- - -Wk (Wi (Z1? Xz, • • •> Xk), Wz (Zi? Xz, ■ • •? Xk), • • •? Wk (Zi? Z2? • • •? ZJ)/
Für die Komposition der automorphen Transmutationen gilt also das
assoziative Gesetz.
3. Unter den automorphen Transmutationen von befindet sich
die identische Transmutation E — ( 22 • • • 2/? j (]je notwendig stets in
\2i Qz • • • Qk/
<5 enthalten ist.
4. Ist Sa eine automorphe Transmutation aus S, so befindet sich,
wie in II gezeigt, unter den automorphen Transmutationen von S stets
auch die rechtshändige Inverse Z zu Sa, für die SaZ=E gilt.
Die Bedingungen 1—4 sind aber charakteristisch dafür, daß die
Gesamtheit aller in befindlichen automorphen Transmutationen eine
Gruppe1) bildet. Hiermit ist der Satz 1 bewiesen.
Das in der maximalen automorphen Transmutationsgruppe zu
jedem Element Sa vorhandene rechtshändige inverse, durch SaZ—E
definierte Element Z ist, wie aus den einfachsten Gruppeneigenschaften
folgt und in unserem Fall auch sofort unmittelbar ersichtlich ist (vgl.
Angaben unter II auf Seite 36), auch gleichzeitig linkshändiges
b Fgl. hierzu etwa mein Lehrbuch der Algebra I. Grundlagen der Arith-
metik, Leipzig 1915, S. 25.