Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 45
Satz 5. Ist ®f( eine automorphe Untergruppe des
Transmutationssystems® der Dirigenten qx, q2Qk des
Körpers (P; p15 p2, pÄ) und wird ® durch Adjunktion einer
beliebigen Größe $ z u P auf ®ß reduziert, so wird dieselbe
Wirkung auch durch Adjunktion jeder zu ®a. zugehörigen
rationalen Funktion (px, f>2, • • •, Z?fc) geleistet; dabei ist
oa eine rationale Funktion von # mit Koeffizienten aus P.
Gehört also •& dem Körper (P; p15 , q^) nicht an, so
wird zum Zweck der Deduktion von ® auf ®rt durch die
Adjunktion von $ zu P zu viel adj ungiert; es genügt,
den Grundkörper P durch eine rationale Funktion von
p15 p2, •.pz,- zu erweitern.
Nunmehr soll das Transmutationssystem A für l beliebige rationale
Funktionen (p^, p2, • • •, Qk)-> °2 Gi, Q2i • • •, Qk)i • • •, Gi•> Q21 • • •, £?&)
von p15 p3, ..., pz; für den besonderen Fall bestimmt werden, daß sich
durch Adjunktion von o2, . ••, 07 zum Körper P das Transmutations-
system ® der Dirigenten Qx, Q21 • • ■ Qk auf eine automorphe Unter-
gruppe ®a reduziert. Zur Ableitung des gewünschten Resultats führe
man die Giroissche Zerlegung von ® nach ®(( aus:
® = ®aP1 + ®aP2... + ®aPf,
wobei /„= wenns die Anzahl der Transmutationen von ®, sa die-
jenige von ®a-ist. Es sei Pz = j (i= 1, 2, . .., Za). Nach
Voraussetzung ist für alleWerte 7=1, 2, ..., Z: (o?) ®(l = Oj (p1? p2, •. •
Wir setzen weiter (ay) ®„ Pz = (pH, p2i. ..pH) = oü (7 = 1. 2, ..., Z;
2=1, 2, . .., Za). Hat man nun irgendeine richtige Gleichung zwischen
o1? a2, .. ., oz mit Koeffizienten aus P:
/ (<>■£ Gi, p2,..., pzJ, o2 (p15 p2, • •pzl, ■ ■ (p15 p2, ..., pz;)) = 0,
so läßt sich diese auch als richtige Gleichung zwischen p1? p2, ..., qj.
mit Koeffizienten aus P auffassen und gestattet daher alle Transmuta-
tionen aus ®. Die Anwendung von ®a. Pi ergibt
Gl Gli, {?2i, ' • •, Qki)) ^2 Gli, £?2i, • * *, Qki)) • • •, Gli, Q2i) ' • ’) Qki))' 0.
Mithin bleiben alle richtigen Gleichungen zwischen 04, o2, ..., az mit
Koeffizienten aus P richtig, wenn man auf sie die Transmutationen
( G1 Gl> Q2 • ' •■) Qk) °2 Gl, t?2, • ' ■? Ql:) • ■ • Gl, Q2f • • •, Qk)
\°1 \21i, Q2i • ' ’, Qki) °2 ^Qlii Q2il ’ • •, Qki) • • • ^Qyil t?2i, • •• , Qki) Q
oder anders geschrieben p. p. ;;' pj)
(i= 1, 2, ..., G) ausübt. Nach Satz 4 des § 3 ist, wenn die Z Funk-
tionen o1 (p15 p2, ..p7.)} a2 (pB p2, ..., pz-), ..., Gi, Q2, • • •, Qk) bei