Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roesek:

Der Übergang

von’ 2 zu 3 aber wird erreicht, indem man r -

7t j
2

+ D

setzt. Das ist der imaginäre Übergang. Die Formeln 1 und 3 verein-
fachen sich für eine Kugel, für die sh r = 1 und für eine Abstandsfläche,
für die ch rT = 1 und = 0 ist, d. h. für die Ebene, denn sie ist die Ab-
standsfläche mit dem Abstand Null, geht also durch den Mittelpunkt
der Kugel.
Es ist einleuchtend, daß die Funktion tg A nicht zu verändern ist,
denn A ändert seine Natur nicht, es ist immer der reelle Winkel zweier

Ebenen, während — eine Winkelgröße, ~— ein gemeinsames Lot ist.
sh r ch rx
Der Übergang ist ein rein formaler, die a, b und /. der drei Gleichungen
sind voneinander unabhängige Größen, wenn nicht noch besondere An-
nahmen gemacht werden.
Wir können aber auch A sich seiner Natur nach ändern lassen.
Wenn wir der Hypotenusen ebene gestatten, von den Kathetenebenen
fortzurücken, wird sie diese schließlich nicht mehr in einer Kante
schneiden, sondern gemeinsame senkrechte Ebenen mit ihnen haben.
Um den Übergang herzustellen, wäre A auch zunächst durch einen Kreis-
bogen um seinen Scheitel dividiert durch sh r zu messen, und dann
müßte man wie oben vorgehen. Die Ebene, in der der Mittelpunkt fort-
gleitet, liegt jetzt in der Ebene des Dreiecks. Dann hat das ursprüng-
liche projizierende Büschel, das zur Dreiecksfläche senkrecht steht,
nicht mehr-drei Strahlen, sondern vier oder fünf, die Schnittfigur mit
einer Abstandsfläche ist ein Spitzeck oder rechtwinkliges Fünfeck. Liegt
der Mittelpunkt aber im Endlichen, so gibt es ein sphärisches Stumpfeck
oder Fünfeck. Man erhält also zu den hyperbolischen Figuren Stets
entsprechende sphärische.
Jede Erscheinung der hyperbolischen Geometrie findet ein Analogon
in der sphärischen. Dieser imaginäre, rein formale Zusammenhang
entsteht also durch Schnitt verschiedener Strahlenbüschel mit den dazu-
gehörigen senkrechten Flächen.
Ganz anders der reelle, metrische Übergang. Er entsteht, wenn
man eins der drei Strahlenbüschel durch eine nicht dazugehörige Fläche
schneidet. Der rechte Winkel bleibt dabei nur beim Dreieck erhalten,
nur diese Figur ergibt sich geschlossen. Das Spitzeck läßt sich in zwei
rechtwinklige Dreiecke zerlegen, der dritte rechte Winkel geht in einen
stumpfen über, der spitze aber in einen rechten, infolge der Vertauschung
der Dreieckswinkel.
In § 1 wurden drei zu einer Ebene senkrechte Strahlen durch eine
Kugel geschnitten (rechtwinkl. Dreieck). Dadurch übertragen sich die