Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser :

Es ist bekannt, daß der imaginäre Übergang von 1 zu 2 Stattfindet,
wenn gesetzt wird:

(3)

r i 2E
k k'r 2

Ersetzt man aber in 1 und 2 k durch k i, so ergeben sich die Gleichun-
gen für den sphärisch-elliptischen Raum (k = 1):
Z/n c a b . a . b
(4) cos-= cos-cos-p sm-sm-cos v
cos r cos r cos r cos r cos r
bx i ■
(5) cos— = coscos —--1- sm^—sm— -cosr,.
sm rx sm rx sm rx sm rx sm rx

Auch die Abstandsfläche geht hier in eine Kugel über, auf beiden
Flächen gilt die Sphärische Geometrie. Es gibt nur eine Art von Strahlen-
büscheln, also auch nur eine Art von dazu senkrechten Flächen. Glei-

chung 4

nimmt die Form 5 an für r = —-rx,

die Gleichung:

(6)

k

(8)

(9)

(10)

(11)

cos —
cos r

ch —~— — cos—— (k — 1). Das wird hier
ch r sh ri
c cx
cos -= cos — -.
cos r sm ri
Dafür wird der reelle hyperbolische Übergang hier imaginär, denn
er beruht auf dem Begriff des Parallelwinkels. Es war:
ch_c _ 1
ehr Ci , das wird hier:
cos —-
shr
1
Ci .
cos —.-
smrx
Um eine ähnliche Vereinfachung der Formeln zu erzielen wie in § 1,
seien die Konstanten der beiden Kugeln wieder gleich gemacht. Also:
cos r = sin n.

TT
Dies tritt ein für r = 0 und rx — —, 8 und 9 gehen über m:
Ci
C = C15
1
cos c =-.
cos cx

r 7i
k = 2
entspricht also der Gleichung 3.
Der imaginäre Übergang der hyperbolischen Geometrie ist in der
sphärischen Geometrie reell. Er wird auch dargestellt durch die Gleichung:
c