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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0022
14
Alfred Loewy:
§ 6.
Der Galoissche Körper und sein Transmutationssystem. Der Galois-
sche Oberkörper $ eines Körpers (P; qv q%, ■■■, Qk) und die Darstellung
des Transmutationssystems der Dirigenten 21, q2, ..gk des Körpers
(P'> Qv • • •> Qk) in
Ein Körper (P; op o2, .. ok) heißt ein Galoisscher oder Nor-
malkörper, wenn das Transmutationssystem <5 seiner Dirigenten nur
automorphe Transmutationen besitzt, also @ mit seiner maximalen
automorphen Untergruppe zusammenfällt.
Wir beweisen den
Satz 1. Ist <5 das Transmutationssystem irgendeines
Körpers (P; o2, ..., ofc), die maximale automorphe
Untergruppe von <5, und bedeuten ax o2,
a2 (@i, 02’• ■ 2*)> • • •> (2v • • •> 2z-) beliebige rationale Funk-
tionen von Qv Q%, • •Qk mit Koeffizienten aus P, so bilden
die in enthaltenen Transmutationen, die sämtliche
l Funktionen ux, o2, ..., nicht ändern, eine Gruppe.
In der Tat seien und B zwei Transmutationen aus die
beide o1} o2, ihrem Werte nach nicht ändern, für die also (o-J A = g>x,
(o2)-4 = o2,..., (c>i)A — p und (p^B = ox, (o2) B = o2,..., (.p^)B — ist.
Da A eine automorphe Transmutation aus <5 ist, hat mau in (a1)J. = <71,
(o2) A = g2, ..(oi)A = auch nur Gleichungen zwischen 2i, p2,..., Qk
mit Koeffizienten aus P vor sich und kann demnach auf sie die Trans-
mutation B aus @ anwenden. Hierdurch erhält man (p-^AB = (oJP,
(p^AB = (p^)B, ..(p^)AB = (pi)B oder bei Beachtung des oben an-
gegebenen zweiten Gleichungssystems (p-^AB = (o2) AB — o2, .. .,
(pt)AB = d. h. auch das Produkt AB der zwei automorphen Trans-
mutationen A und B von ändert alle Funktionen g1? o2, ...,
nicht. Diese Abgeschlossenhtit in bezug auf die Produktbildung der
in der endlichen Gruppe enthaltenen Transmutationen, die alle
Funktionen <p, o2, ..., c>i nicht ändern, ist aber ausreichend dafür, daß
diese Transmutationen eine Gruppe bilden.
Da für einen GALOisschen Körper keine außerhalb befind-
lichen Transmutationen von ® existieren, ergibt sich aus Satz 1 der
Satz 2, Ist (P; 2i, 22’• • •> 2&) ein GALOisscher Körper, so
existiert zu jedem System (2P q2, • ■ o^, o2 q2, ..2fc)r ■ ■ ■’
°iÄQv Q^ • • ••> Qk) rationaler Funktionen von 2i> £2’ • • •’ mit
Koeffizienten aus P eine Gruppe von Transmutationen,
so daß sich jede der Funktionen o2,..., bei allen <^a an-
gehörigen Transmutationen nicht ändert, hingegen min-
Alfred Loewy:
§ 6.
Der Galoissche Körper und sein Transmutationssystem. Der Galois-
sche Oberkörper $ eines Körpers (P; qv q%, ■■■, Qk) und die Darstellung
des Transmutationssystems der Dirigenten 21, q2, ..gk des Körpers
(P'> Qv • • •> Qk) in
Ein Körper (P; op o2, .. ok) heißt ein Galoisscher oder Nor-
malkörper, wenn das Transmutationssystem <5 seiner Dirigenten nur
automorphe Transmutationen besitzt, also @ mit seiner maximalen
automorphen Untergruppe zusammenfällt.
Wir beweisen den
Satz 1. Ist <5 das Transmutationssystem irgendeines
Körpers (P; o2, ..., ofc), die maximale automorphe
Untergruppe von <5, und bedeuten ax o2,
a2 (@i, 02’• ■ 2*)> • • •> (2v • • •> 2z-) beliebige rationale Funk-
tionen von Qv Q%, • •Qk mit Koeffizienten aus P, so bilden
die in enthaltenen Transmutationen, die sämtliche
l Funktionen ux, o2, ..., nicht ändern, eine Gruppe.
In der Tat seien und B zwei Transmutationen aus die
beide o1} o2, ihrem Werte nach nicht ändern, für die also (o-J A = g>x,
(o2)-4 = o2,..., (c>i)A — p und (p^B = ox, (o2) B = o2,..., (.p^)B — ist.
Da A eine automorphe Transmutation aus <5 ist, hat mau in (a1)J. = <71,
(o2) A = g2, ..(oi)A = auch nur Gleichungen zwischen 2i, p2,..., Qk
mit Koeffizienten aus P vor sich und kann demnach auf sie die Trans-
mutation B aus @ anwenden. Hierdurch erhält man (p-^AB = (oJP,
(p^AB = (p^)B, ..(p^)AB = (pi)B oder bei Beachtung des oben an-
gegebenen zweiten Gleichungssystems (p-^AB = (o2) AB — o2, .. .,
(pt)AB = d. h. auch das Produkt AB der zwei automorphen Trans-
mutationen A und B von ändert alle Funktionen g1? o2, ...,
nicht. Diese Abgeschlossenhtit in bezug auf die Produktbildung der
in der endlichen Gruppe enthaltenen Transmutationen, die alle
Funktionen <p, o2, ..., c>i nicht ändern, ist aber ausreichend dafür, daß
diese Transmutationen eine Gruppe bilden.
Da für einen GALOisschen Körper keine außerhalb befind-
lichen Transmutationen von ® existieren, ergibt sich aus Satz 1 der
Satz 2, Ist (P; 2i, 22’• • •> 2&) ein GALOisscher Körper, so
existiert zu jedem System (2P q2, • ■ o^, o2 q2, ..2fc)r ■ ■ ■’
°iÄQv Q^ • • ••> Qk) rationaler Funktionen von 2i> £2’ • • •’ mit
Koeffizienten aus P eine Gruppe von Transmutationen,
so daß sich jede der Funktionen o2,..., bei allen <^a an-
gehörigen Transmutationen nicht ändert, hingegen min-