Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Rhombische Geradennetze im Raum.

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Interessanter sind zwei weitere Beispiele.
Nimmt man
x — vw, y = wu, z = -uv
so wird
dx2 -R dy2 -R dz2 = du2 (V + w2) -R dv2 (w2 + w2) -R dw2 (u2 -R U) + • ■ •
Das Netz ist aufgebaut aus den Geraden dreier Scharen von hyperbo-
lischen Paraboloiden und weist bereits auf die später abzuleitende
allgemeinste Form der dreifach rhombischen Netze hin.
Sodann mögen die durch
x — yt -R zt2 — t2 = 0
gegebenen Schmiegungsebenen einer speziellen Raumkurve dritter Ord-
nung betrachtet werden. Durch jeden Raumpunkt gehn drei Schmiegungs-
ebenen G = w, v,w), und es ist
x — uvw, y = uv -R vw + wu, z = u-\-v-\-w,
also wird
dx2 -R dy2 -R dz2 = du2 [v2w2 + (r -R w)2 -R 1} -R dv2 {w2u2 -R (w -R u)2 -R 1j
-R dw2 [u2v2 -R (u -R R)2 -R 1} -R • •.
Also bilden die Schnittgeraden der drei durch einen Punkt gehenden
Schmiegungsebenen dieser C3 ein dreifach rhombisches System.
Diese beiden Beispiele mögen hier genügen.
Endlich mag als Vorbereitung auf die allgemeine Untersuchung
hier darauf hingewiesen werden, daß auf jeder F2 die beiden Graden-
scharen ein rhombisches Netz bilden. Dies folgt aus der Parameter-
darstellung
(3) x:y:z:l = (a12uv -R aAu -R a2v -R «0): (b12uv -R -R b2v -R b^
: (cX2uv -R cru -R c2v -R c0): (</x2uv -R d-^u -R d2v -R cR),
in der die Parameterkurven die Geraden sind, durch elementare Rechnung.
Um in zwei einfachen Fällen auch die Eichung vorzunehmen, wollen
wir hyperbolisches Paraboloid und Rotationshyperboloid heranziehen.
Beim Paraboloid
z = xy oder x = u, y — v, z = uv,
dx2 -R dy2 -R dz2 = (udv -y vdid)2 -R du2 -R dv2
muß man so eichen:
du dv
du = , r--, dv = , .- -
Kl+w2 Fl+v2
erhält also, wenn man die Normalparameter mit u,v (ohne Strich) be-
zeichnet, die Darstellung
x = slvu, y — shv, z = shu ■ shv
dx2 -R dy2 -R dz2 = ch2u ch2v (du2 -R dv2 -R 2 thu thv du dv~).