Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Liebmann:

Beim Hyperboloid
^•2 ^2 ^2^2 = a2
wird die richtige Darstellung sein
X': ?/: ^: 1 = cos (v-j-w): sin (v^w) : A?-1 sin (y — u) : cos (v — u) • a“1,
wie dies die Formel für das Bogenelement zeigt, nämlich
(7s2 = , a-r f ((7 m2 + (7z;2) (1 -j- -^-) + 2 du dv (cos (2 v — 2 u) —,\-) \
cos4(u — v) \ A/ k2 d
Hier sind die Parameter leicht zu deuten, es sind nämlich 2u
und 2 v die Winkel, welche die Radii vectores der Spuren der beiden
durch einen Punkt der Fläche gehenden Erzeugenden auf dem Kehl-
kreis mit der rc-achse bilden.
In beiden Fällen, Paraboloid und Hyperboloid, erhält man übrigens
noch sehr leicht dreifach rhombische Netze besonderer Art, die wir
als „halb rhomboedrisch“ bezeichnen können, und das soll gleich all-
gemein für (3) gezeigt werden.
Ersetzt man (3) durch
x: y: 2: 1 = w (u12uz; + ayu + + ao) •’ w (Pi2uv + 7>1w + b2v + Z>0)
: iv (c12zzz; + ciM + CF + co): (d12wv + dAu -j- d2v -f- (70),
so wird wieder
N.z;m2 : Fxv2 = H(zz) : B (u),
also wird die „Eichung“ auf den Flächen w = c unabhängig von w.
Wie erhält man die allgemeinsten „halbrhomboedrischeu“ Netze? —
Noch eine andere Frage taucht auf: Bekanntlich gibt es nur auf
Liouville sehen Flächen aus geodätischen Linien gebildete rhombische
Netze, als klassisches Beispiel hierfür sind ja gerade die Erzeugenden
einer F2 anzusehen.
Unsere Beispiele zeigen, was sich auch leicht allgemein beweisen
läßt, daß auf den F2 die Diagonalkurven
u-\-v = cv bez. u — v = c2
dieses rhombischen Netzes die Krümmungslinien sind. Und so gelangt
man zu der Frage: Wie verhalten sich überhaupt auf Liouvillesehen
Flächen geodätisch-rhombische Netze und Krümmungslinien? Schärfer
gefaßt: Wann sind die Diagonalkurven dieser Netze „virtuelle Krüm-
mungslinien“, d. h. wann kann die Fläche so „in den _Z?3 eingebettet
werden“, daß die Diagonalkurven eines geodätisch - rhombischen Netzes
Krümmungslinien werden?