Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmungsmaßes. 5

der Gleichung (2) im wesentlichen auf die p-Funktion führt, für die

die Identität gilt1):

/

p(w) p'(u) 1
p(v) P'(p) 1
p(u-\-v) -p'(u-\-v) 1

= 0.

Zum Schlüsse dieser Arbeit werden noch im besonderen die geo-
dätischen rhombischen Dreiecksnetze betrachtet, die dann und nur dann
entstehen, wenn eine Schar des Netzes aus den Meridiankurven (in der
Ebene aus den Strahlen eines Geradenbüschels) besteht, während die
beiden andern Scharen ein und denselben Para’lelkreis (in der Ebene
einen Kreis um den Mittelpunkt des Geradenbüschels) umhüllen oder
jede der drei Scharen ein Büschel bildet.
Es ist ganz aussichtslos, auf weiteren Flächen nach der vorliegen-
den Methode geodätische Dreiecksnetze zu bestimmen, wie überhaupt
die Frage in Angriff zu nehmen: Auf welchen Flächen existieren geo-
dätische Dreiecksnetze? Daß auf den Rotationsflächen und den auf sie

abwickelbaren Flächen geodätische Dreiecksnetze existieren, darauf hat
schon Herr Finsterwalder hingewiesen.2) In seiner Habilitationsschrift,
die demnächst in den Sitzungsberichten der bayrischen Akademie der
Wissenschaften erscheinen wird, hat Herr Sauer in Fortsetzung der
Finsterwalderschen Betrachtungen eingehend die geodätischen Dreiecks-
netze auf Rotations- und Spiralflächen betrachtet. Die analytische
Lösung der Frage nach allen Flächen, die ein geodätisches Dreiecksnetz
zulassen, hängt enge zusammen mit den Untersuchungen, wie sie von
Herrn A.Voss3) mit so großem Erfolge bei Kurvennetzen auf ab-
wickelbaren Flächen angestellt wurden. Darauf hoffe ich in einer
folgenden Arbeit näher eingehen zu können.

§ 1. Die Bedingung D = 0.

Durch Auflösen der Determinante


A(u) B(u) 1
A(v) B(v) 1
A(u-[-v) R(w-4-v) 1

b Vgl. z. B. H. A. Schwarz, Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der
elliptischen Funktionen. Göttingen. 1882. S. 14.
2) Vgl. S. Finsterwalder, Mechanische Beziehungen bei der Flächendefor-
mation. Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 6 (1899),
S. 51 ff. Die von Herrn Finsterwalder angegebenen Netze sind zugleich rhombisch;
vgl. § 6 dieser Arbeit.
3) Vgl. A.Voss, Kurvennetze und Laplacesche partielle Differentialgleichungen.
Sitzungsberichte der bayr. Akad. d. Wissenschaften, Math.-phys. Klasse, 1924,
S. 39 ff.; vgl. § 6 dieser Arbeit.