Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmungsmafies. 7

Die Ausrechnung ergibt schließlich:

(— A(v) B(v) B"(v) — 2 A'(v) B(v) B'(v) + 2 A(v) B'(v)2'
+ B(v)2 A" (vY)
4- B'(u) (— A(v) B(v) A"(v) — 2 A(v) A'(v)B\v) 4- 2 B(v) A'(v)2
4- A{v)2 B" (v)}

(10)

4- A"(u) (B(v)2 A'(v) — A(v) B(v) Bf(v)) 4- _B"(w) (A(v)2B'(v)
— A(v) B(v) A'(vß)
A-A(ju)A'(u) (B(v)B"(v)-2B'(vf) 4- B(u)B'(u) (A(v)A"(v)
-2 AW)
4-2A/(u)JB'(^t)(A('ü)j5/(v)4--B(,y)A'(v))4-A(u)5//(w) (B(v)A'(v)
4- B(u)A' \u) (A(v)B'(v) — 2 B(v)A'(vß) -\-B(v)A''{v){A(u)Br(,u)
— 2B(u) A’ (uß)
4- A(v)B"(??) (ßB(ii)A\u)-~2 A(w)j3'(u))4-2 A'(y')B'(v) (B(u)A'(u)
4- A(u) B'(uß

A(v)A'(v)(B(u)B''(u) — 2 B'(u)2)-ß B(v)B'(v) (A(u)A"(u)
— 2A'(u)2]
4- A'(v) (B(u)2A"(u) — A(u)B(u) B"(u) — 2B(u)A'(u)B'(u)
4- 2 A(u) B'(u)2)
-ß B'(v) (A(u)2 B"(u) — A(u) B(u) A"(u) — 2 A(u) A'(u)B'(u)
+ 2 B(u) A' (u)2)
4- A"(v) (B(u)2A'(u) — A(u)B(u) B'(u)) -j- B"{v) {A(u}2B'(u)
— A(u)B(u) A'(u))

§ 2. Lösung der Funktionalgleichung.
Differentiiert man die Gleichung (10) wiederholt nach v und eli-
miniert, so erhält man unter anderem:
B'(u) = aj A"(w)4-/51 A(w)A'(w)4-/i A'(m),
B"(u) = a2A"(u) ß2 A(u) A'(u) y2 A'(u),
oder integriert:
■ B(w) = O; A' (ii) + A(u)2 + A{u) + äp
(11) 2
B'(u) = a2 Af (u) + A(w)2 A'(u) 4- y2 A{ii) 4- ö2,

wo die Koeffizienten ßi} yi als konstant angesehen werden können.
Die Elimination von A(u)2 ergibt nun:
(12) ßx B'(u) - ß2 B(u) = (a2ßr - aiß2) A'(u) + (y2ßT - y1ß2) A(u)
■ 4“ d2 ßy ö±ß2.