Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmungsmaßes. 9

Diese Gleichung geht nun in die erste Gleichung (17) über, wenn ist:
cx = c2 = 0, 2 (at — &2) = 3 04, — a2 -F dA = 3 dA •,
aus der Gleichung (18) erhält man so schließlich:
(19) A\u)2 = ~- A(u)3 + aA A(u)2 + 2 A(u) — d2.
ö O
Man bestätigt leicht, daß die beiden Gleichungen (17) unmittelbar aus
dieser Gleichung (19) hervorgehen. Wir erhalten somit also:
(20) A'(u)2 = a A(u)3 -j- & A(u)2 + c A(u) + d,

wenn wir setzen:
, 0 7 7 2 7
a = b = av c = 2 dv d= —- d2.
In ganz analoger Weise findet man:
A '(v)2 = a* M(v)3 + &* M('w)2 + c* A.(?’) + }
aus Symmetriegründen muß sein:
a* = a, b* = b, c* = c, d* = d,
so daß man erhält:

(21) A'(v)2 = a A(v)3 + b M(w)2 -f- c A(v) + d.
Man überzeugt sich leicht, daß durch (20) und (21) in der Tat
die Funktionalgleichung (15) identisch erfüllt ist. Wir erhalten also
somit im allgemeinen als Lösung der Funktionalgleichung (10):
0 J A(u) = fflji(M) + w, B(u) = a mp’(u),
l A(v) = mp(v) + n, B(v) = a mp\v),
wo p die Weierstrass sehe p -Funktion bedeutet und 7», n sowie die
beiden Konstanten g2, g3 willkürlich sind.

§ 3. Sonderfälle.
Wir haben noch die Sonderfälle zu betrachten, in denen die An-
sätze (14) oder (16) versagen.
I. Der erste Fall tritt ein, wenn entweder die Koeffizienten von
A' und B' oder von A" und B" gleichzeitig Null werden, oder aber
gleichzeitig die Koeffizienten von A’, A" oder B', B" verschwinden.1)
Diese Koeffizienten sind nun:
A'-. B{BA" -AB")-2B'(A'B-AB’)
B't A(AB"-BA")-2A'(AB'-A'B)
A": B(A'B — AB')
_B": A(AB' -A'B).
9 Verschwindet der Koeffizient nur von B', so braucht man nur A mit B
in den Gl. (12) bzw. (14) zu vertauschen.

3*