Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Volk:

Daraus erkennt man sofort, daß die Koeffizienten von A' und B'
dann und nur dann gleichzeitig Null werden, wenn entweder
a) A = 0 oder B = 0, b) GZB —JB' = 0 d. h. B—kA
ist. In den gleichen Fällen verschwinden auch die Koeffizienten von
A" und B" gleichzeitig. Da man A mit B vertauschen kann und
außerdem die Vertauschung von A mit B — kA keine Änderung an
dem Bau unserer Funktionalgleichung hervorruft (es wird dadurch in
den Gl. (1), (3), (5) nur eine Koordinatentransformation eingeführt),
so genügt es, den Fall A = 0 zu betrachten; auch genügt es natürlich,
für eine Veränderliche, etwa v, die Rechnung durchzuführen.
Es sei also: ...
A(v) = 0.

Die Funktionalgleichung (10) nimmt nun die Gestalt an:

(23)

'R'(v) (a(u) ~ (A(u)B'(u) — A'(u)B(u)) — 2 J.'(w) (^l(u)B'(w)
— A'(u) B(u))\
-\-B"(v)A(u) (A(u)B'(u)— A\u)B(u))+A(u)A'(u) ^B(v)B"(a)
-2 BW)
H-B(v)Bz(F) (A(u)A"(u) — 2A'(u)2)

= 0.

Daraus folgt durch Differentiation nach u und Elimination1):
B{v) B"(v') — 2B\v)2 = ar B\v)-\-ß1 B(v)B'\y'),
B,r(y)= a2B\v)^ ß2B(v)B'(v).
Integriert man jede dieser beiden Gleichungen, so erhält man aus beiden
dieselbe Form für B'(y}:
(24) B\v)=a-Aß B{v)^y B{v)2.
Setzt man diesen Wert und die daraus sich ergebenden:
Bz z(v) = (ß ff 2 y B(v) B' (v)
B(v)B''(v) - 2 B'(y)2 = - (2 a ff ß B(v)) Bz(v)
in die Gleichung (23) ein, so erhält man:
2<(m)^(^4(w)Bz(u) — A'(u)B(u)')— 2A'(u) (A(u)B'(u) — A'(u)B(u))
-\-ß A(u) (A(u) B'(u) — A'(u) B(u)) — 2a A(u)A'(u)
+ B(v) (2y A(u) (A(u)B'(u) —A'(u)B(u)) — ß A(u)A\u)+ A(u) A' '(u)
____ - 2 dz(w)2) = 0
0 Dabei sehen wir von der Möglichkeit, daß die Koeffizienten von B”{v),
B(v) B' (r) — 2J3'(v)2 gleichzeitig verschwinden, zunächst ab. Dies tritt ein, wenn
entweder A(u) = 0 wird oder A(u), B(u) gleichzeitig konstant sind. Im ersten
Falle bleiben B(u), jB(r) beliebig; wir erhalten den Fall der Büschel; der zweite
Fall scheidet aus, da wir ja kein Dreiecksnetz erhalten.