Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmungsmaßes. H

und daher, wenn zunächst A(u) 4 0 vorausgesetzt wird:
A(u)~(A(u) B'(u) — A'(u) B(u)) — 2 A'(u)(A(u) B'(u) — A'(u) B(u))
-Aß A(u) (A(u) B'(u) — A'(u)B(u)') — 2a A(u')A'(u') = 0
2y J.(u) (A(u) B\u) — A'(u) B(uß) — ß A(u) A'(u) + A(u) A ''(u)
-2A'(u)2=0,
oder:
d /A{uyB\u)—A\u)B{u)\ d /B(u)\ 9 A'(u")
du\ A^u)2 J du\A(u)J a A(u)2
d /B(u)\ ■ ßA'(u) d /Ä'(uA
'du\A(u)J A(u)2 ‘ du\A(u)2 J ’

woraus durch Integration folgt:
A(u)B\u) — A'(u)B(u) B(u) 2 a
A(u)2 “ A(u) 1 A(u) 1
2y ATA + ß ~TTA + ATA = 32-
A(u) A(u) A(u)2 2
Durch Elimination von
B(u} . A(u)B'(u) — A'ßuß B(u) d /-B(u)\
Z(w)un A(uß =d^\I^))
aus der ersten dieser beiden Gleichungen mittels der zweiten erhält
man hieraus schließlich:
(25) A'^uß = (a + 2 6 A(u) + c A(ti)2) A(u)2,
wo gesetzt ist:
a — ß2 — 4ay, & = — d2+ 2y
und c eine willkürliche Konstante bedeutet, und somit:
(26) B(u) = — 4- A(u) — — + 2 & A(zt) + c A{u)2.
Ist aber f1(w)=0, so ist die Gleichung (23) von selbst erfüllt. Es
bleiben dann B(u2), B(v) beliebig.
Wir erhalten also die beiden Möglichkeiten:
1. A(v) =0, yl(w) = 0, -B(w), B(y) beliebig.
2. Aßv) -0, B/(v) = a + jdB(v) + ^5(v)2
y4'(u) = ycc+2b A(u)AcA(u)2, B(u) = A(u)
2 / 2 /
— a4~2bA(u) AcA(u)2,
wo a = ß2 — <4ay, b = —ö2ß4-2ö1y.