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https://doi.org/10.11588/diglit.43532#0010
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Eduard Rembs:
u, v und veränderlichem C gehörigen Punkte erfüllen bei der Verbiegung
nicht die Bahnkurve eines auf einer SiEVERTfläche (oder der Kugel)
fixierten Punktes; das erkennt man einfach daran, daß E und G (vgl. 13)
wegen 5 noch von C abhängen; u, v sind keine „Biegungsparameter“.
Solche haben wir mit p, q_ gewonnen; auch reelle „Biegungsparameter“
(z. B. geodätische Polarkoordinaten) lassen sich nun angeben.
Nach 13 ist: E — G=1
Daraus folgt:
1 dKe _ i d Kg
K TV u VIe öu
Dasselbe gilt für die Ableitungen nach v. Dann hat aber die Form
Gdu2pEdv2
(vgl. z. B. Bianchi-Lukat, 2. Aufl. § 35, Formel 18 oder § 269) ebenso
wie E du2 + G dv2 die Krümmung 1. Wir müssen uns noch kurz mit
den Gleichungen der Minimalkurven:
(U2 + F2)du±2f HFdu-0
beschäftigen (vgl. 18).
Ihre Integration (man multipliziere mit C und betrachte U' als
Funktion von v) liefert:
(22)
V+V'^iV' iv
—!=■--p
-V+U' + iV' ’
V-U' + iV' iv
U' + iV'e
(vgl- 21)
Auch hier wird die geodätische Entfernung durch 4 angegeben.
§ 3.
Der GuiCHARDsche Satz über die Biegungsflächen (B.) des ver-
längerten Rotationsellipsoids (v. R.) lautet: Rollt ein v. R. auf einer
seiner B., so daß sie sich in entsprechenden Punkten berühren, so be-
schreibt jeder Brennpunkt des v. R. eine Fläche konstanter mittlerer
Krümmung. Diese beträgt 1, wenn die halbe Hauptachse des v. R. 1
ist, was im Folgenden immer angenommen werden soll. Im Abstande 1
von jeder Fläche konstanter mittlerer Krümmung 1 liegt aber nach
dem Bonnetschen Satze eine Fläche konstanter Gaußscher Krümmung 1;
und so läßt sich zu jeder B. des v. R. eine B. der Kugel angeben. Die
Fläche konstanter mittlerer Krümmung kann auch als Einhüllende eines
oo2 - Kugelsystems betrachtet werden. Endlich kann dem Guichard-
schen Satze eine solche Gestalt gegeben werden, daß er auf die Ver-
biegung eines Strahlensystems, und zwar eines Normalensystems hinaus-
kommt. Diese Fassung ist für uns die brauchbarste. Die Kugel vom
Radius 1 und das v. R. mit der halben Hauptachse 1 seien so gelegen,
Eduard Rembs:
u, v und veränderlichem C gehörigen Punkte erfüllen bei der Verbiegung
nicht die Bahnkurve eines auf einer SiEVERTfläche (oder der Kugel)
fixierten Punktes; das erkennt man einfach daran, daß E und G (vgl. 13)
wegen 5 noch von C abhängen; u, v sind keine „Biegungsparameter“.
Solche haben wir mit p, q_ gewonnen; auch reelle „Biegungsparameter“
(z. B. geodätische Polarkoordinaten) lassen sich nun angeben.
Nach 13 ist: E — G=1
Daraus folgt:
1 dKe _ i d Kg
K TV u VIe öu
Dasselbe gilt für die Ableitungen nach v. Dann hat aber die Form
Gdu2pEdv2
(vgl. z. B. Bianchi-Lukat, 2. Aufl. § 35, Formel 18 oder § 269) ebenso
wie E du2 + G dv2 die Krümmung 1. Wir müssen uns noch kurz mit
den Gleichungen der Minimalkurven:
(U2 + F2)du±2f HFdu-0
beschäftigen (vgl. 18).
Ihre Integration (man multipliziere mit C und betrachte U' als
Funktion von v) liefert:
(22)
V+V'^iV' iv
—!=■--p
-V+U' + iV' ’
V-U' + iV' iv
U' + iV'e
(vgl- 21)
Auch hier wird die geodätische Entfernung durch 4 angegeben.
§ 3.
Der GuiCHARDsche Satz über die Biegungsflächen (B.) des ver-
längerten Rotationsellipsoids (v. R.) lautet: Rollt ein v. R. auf einer
seiner B., so daß sie sich in entsprechenden Punkten berühren, so be-
schreibt jeder Brennpunkt des v. R. eine Fläche konstanter mittlerer
Krümmung. Diese beträgt 1, wenn die halbe Hauptachse des v. R. 1
ist, was im Folgenden immer angenommen werden soll. Im Abstande 1
von jeder Fläche konstanter mittlerer Krümmung 1 liegt aber nach
dem Bonnetschen Satze eine Fläche konstanter Gaußscher Krümmung 1;
und so läßt sich zu jeder B. des v. R. eine B. der Kugel angeben. Die
Fläche konstanter mittlerer Krümmung kann auch als Einhüllende eines
oo2 - Kugelsystems betrachtet werden. Endlich kann dem Guichard-
schen Satze eine solche Gestalt gegeben werden, daß er auf die Ver-
biegung eines Strahlensystems, und zwar eines Normalensystems hinaus-
kommt. Diese Fassung ist für uns die brauchbarste. Die Kugel vom
Radius 1 und das v. R. mit der halben Hauptachse 1 seien so gelegen,