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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0017
Folgt, wie üblich, aus III und Illa durch vollständige Induktion.
VI. Ist p 0 die Charakteristik von A1), so ist ap Element von K,
wenn a ein Element aus A ist.
Denn wegen V ist (a^)' = pap ~ra' = 0, also folgt VI aus I. A ist
also Wurzelkörper2) in Hinsicht auf K\ weiter ist A unvoll-
kommen, wenn A von IC verschieden ist; dies folgt aus einem Satz
von Steinitz3); ist nämlich a ein Element aus A, so daß es in A ein
b gibt, welches bv = a erfüllt, so ist a Element aus AT; also kann aus
den nicht in K enthaltenen Elementen von A nicht die p-te Würze]
gezogen werden; weiter folgt aus der von Steinitz 1. c. bewiesenen
Tatsache, daß ein Element aus A höchstens eine pAe Wurzel besitzt,
daß auch K unvollkommen ist; wir haben also:
VII. Ist K ein echter Unterkörper von A und die Charakteristik
p 4 0, so ist A Wurzelkörper in Einsicht auf K und A wie K
sind unvollkommen und also unendlich.4)5)6)
Rechnen wir zwei Elemente a, b aus A dann und nur dann
zur gleichen Klasse nach K, wenn a — b in K enthalten ist,
so gilt:
la. K ist ein Körper.
Sei nämlich a' = &' = 0; wegen II und Ha ist auch (a+b)' = 0 und
= 0.
wegen III («ö)' = 0, wegen IIIa
IV. Der Bereich 31 der Elemente aus A, die Ableitungen von Ele-
menten aus A sind: die integrablen Elemente ist ein Modul
mit K als Multiplikatorenbereich.
Wegen Ha ist nämlich mit a',b' auch a' — b' = (a — b)' in 31
enthalten; ist weiter «'Ableitung von a und c Element aus K, so ist
(ca)'= c a-f ca'= ca' wegen I, d. h. car ist Element aus 31.
— + x>«r.
Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 17
b cf. E. Steinitz: Journal f. d. r. u. a. Math. Bd. 137 (1910) p. 181, wo auch
angegeben ist, daß p f 0 stets eine Primzahl ist.
2) cf. Steinitz: 1. c. p. 229.
3) 1. c. p. 218, Satz 2. b cf. Steinitz 1. c. p. 225 Satz 2.
8) Damit und für p = 0 wegen la ist auch die Abhängigkeit des Postu-
lats U von Blumberg 1. c. p. 42 — von der trivialen Ausnahme abgesehen —
gezeigt.
6j Es folgt leicht: ein Automorphismus von A ist dann und nur dann dei’
Identische, wenn er es für K ist.
2
VI. Ist p 0 die Charakteristik von A1), so ist ap Element von K,
wenn a ein Element aus A ist.
Denn wegen V ist (a^)' = pap ~ra' = 0, also folgt VI aus I. A ist
also Wurzelkörper2) in Hinsicht auf K\ weiter ist A unvoll-
kommen, wenn A von IC verschieden ist; dies folgt aus einem Satz
von Steinitz3); ist nämlich a ein Element aus A, so daß es in A ein
b gibt, welches bv = a erfüllt, so ist a Element aus AT; also kann aus
den nicht in K enthaltenen Elementen von A nicht die p-te Würze]
gezogen werden; weiter folgt aus der von Steinitz 1. c. bewiesenen
Tatsache, daß ein Element aus A höchstens eine pAe Wurzel besitzt,
daß auch K unvollkommen ist; wir haben also:
VII. Ist K ein echter Unterkörper von A und die Charakteristik
p 4 0, so ist A Wurzelkörper in Einsicht auf K und A wie K
sind unvollkommen und also unendlich.4)5)6)
Rechnen wir zwei Elemente a, b aus A dann und nur dann
zur gleichen Klasse nach K, wenn a — b in K enthalten ist,
so gilt:
la. K ist ein Körper.
Sei nämlich a' = &' = 0; wegen II und Ha ist auch (a+b)' = 0 und
= 0.
wegen III («ö)' = 0, wegen IIIa
IV. Der Bereich 31 der Elemente aus A, die Ableitungen von Ele-
menten aus A sind: die integrablen Elemente ist ein Modul
mit K als Multiplikatorenbereich.
Wegen Ha ist nämlich mit a',b' auch a' — b' = (a — b)' in 31
enthalten; ist weiter «'Ableitung von a und c Element aus K, so ist
(ca)'= c a-f ca'= ca' wegen I, d. h. car ist Element aus 31.
— + x>«r.
Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 17
b cf. E. Steinitz: Journal f. d. r. u. a. Math. Bd. 137 (1910) p. 181, wo auch
angegeben ist, daß p f 0 stets eine Primzahl ist.
2) cf. Steinitz: 1. c. p. 229.
3) 1. c. p. 218, Satz 2. b cf. Steinitz 1. c. p. 225 Satz 2.
8) Damit und für p = 0 wegen la ist auch die Abhängigkeit des Postu-
lats U von Blumberg 1. c. p. 42 — von der trivialen Ausnahme abgesehen —
gezeigt.
6j Es folgt leicht: ein Automorphismus von A ist dann und nur dann dei’
Identische, wenn er es für K ist.
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