Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Beinhold Baer:

Diese Frage werden wir im § 3 beantworten; dies ist nämlich dann
und nur dann möglich, wenn der Konstantenbereich alle in Hinsicht
auf ihn algebraischen Elemente des Körpers umfaßt, falls die Cha-
rakteristik p des Körpers = 0 ist, wenn p 4 0 ist, aber wenigstens
alle £>-ten Potenzen.
Im § 2 werden wir zur Vorbereitung des § 3 einige Sätze be-
weisen, die einfache Erweiterungen des Körpers betreffen, bei denen der
Ableitungsbegriff in übereinstimmender Weise zu erweitern ist; diese
geben uns überdies die Möglichkeit, im § 4 nachzuweisen, daß es zu
jedem Körper, in dem Ableitungen definiert sind, einen Erweiterungs-
körper mit übereinstimmender Ableitungsdefinition gibt, in dem alle
Elemente Ableitungen sind.
In einer späteren Note soll die hier begonnene Theorie weiter-
geführt werden; insbesondere wird es möglich sein, die Theorie der
linearen homogenen Differentialgleichungen, soweit sie algebraischer Na-
tur ist — z. B. die Zerlegungssätze, die Picard-Vessiotsehe Theorie etc.
— aufzubauen.

§ 1. Grundbegriffe und Postulate.

Sei A ein Körper, p > 0 seine Charakteristik und K ein aus-
zuzeichnender Teilbereich von A, der nicht nur die Null enthält.
In A ist ein — Ableitung zu nennender — Operator definiert,
wenn jedem Element a aus A genau ein Element a' aus A zu-
geordnet ist, so daß folgende Postulate erfüllt sind:
I. die Ableitung a' von a ist dann und nur dann gleich 0, wenn
a ein Element aus K ist; a heißt dann eine Konstante,
K der Konstantenbereich von A.

II. (« + &)' = a' + &'.
Hieraus folgt:
Ila. {a-by = a' -b'.
Ist nämlich a — b = c oder a = b-
— b'-\- c', d. h. c' = (a — by —a' — b
III. (<z ■&)'
Hieraus folgt:
Illa. -

c, so ist wegen II: a'— (6-|-c)'

Aus ~ = c °der « = ö c und III folgt:

a' = b'c-}-bc' und hieraus Illa.