Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

34 Heinrich Kapferer :
kürzt werden können, falls die Resultantenmultiplizität als etwas Be-
kanntes vorausgesetzt worden wäre. Aber gerade auf die Vermeidung
des schwer handhabbaren Gebildes der Mertens sehen Resultante wird
im folgenden Wert gelegt.1)
In § 11 wird gezeigt, wie man die Multiplizitätszahlen in jedem
Fall numerisch berechnen kann, und zwar wird die tatsächliche
Ausführung des Verfahrens so einfach sein, daß sie nichts erfordert
als Multiplizieren von Polynomen und ein Abzählen, wie oft eine
Variable in gewissen Polynomen als Faktor heraustritt. Es sind also
vor allem keine Gleichungen aufzulösen, keine gemeinsamen Teiler zu
bestimmen u. dgl. Die einzige Vorbereitung ist die Transformation
des betreffenden Punktes in den Nullpunkt, überdies ist das Ver-
fahren noch in einem Falle anwendbar, in welchem die Resultante ver-
sagen würde (weil sie nämlich identisch verschwindet), nämlich in dem
Falle, wo die beiden Polynome gemeinsame Teiler haben (siehe §§ 9—11).
Die Tatsache, daß es sich um ein kategorisches Postulats-
System handelt, bietet ein einfaches Mittel, um die zahlreichen, auf
verschiedenen Wegen gewonnenen Multiplizitätsdefinitionen, die sich
in der Literatur finden, daraufhin zu vergleichen, ob sie im Objekt
übereinstimmen oder ob sie Verschiedenes definieren. In § 8 wird
so die Identität der axiomatisch definierten Multiplizität mit der
Mertens sehen Resultantenmultiplizität nachgewiesen, in § 13 die Iden-
tität mit der Liouville- Netto sehen -Resultantenmultiplizität, in § 14
die Identität mit einem Multiplizitätsbegriff bei Primäridealen, welcher von
F. S. Magaulay und E. Noether in die Literatur eingeführt worden ist.
Vermutlich lassen sich die axiomatischen Überlegungen noch ver-
allgemeinern auf mehr als 3 Variabein. Ein Fingerzeig in dieser
Hinsicht ist wohl die Tatsache, daß die in den Postulaten III und
IV ausgesprochenen Eigenschaften auch noch im allgemeinen Fall
Eigenschaften der Mertens sehen Resultante sind.
I. Teil: Axiomatik der Multiplizitätszahlen.
§ 1. Die Postulate I, II, III, IV.
§ 2. Das Postulatsystem ist irreduzibel.
§ 3. Definition eines Symbols (F, Gr) durch eindeutige Vorschriften,
seinen Wert zu berechnen.
§ 4. Das Postulatsystem ist widerspruchslos.
§ 5. Das Postulatsystem ist kategorisch.
ß Die Literatur über Resultanten läßt bekanntlich bezüglich der Strenge
häufig zu wünschen übrig; bei Mertens dagegen scheinen die Definitionen ein-
wandfrei zu sein.