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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0003
Über nicht-Archimedisch geordnete Körper.1)
Von Reinhold Baer in Freiburg i. Br.
Einleitung.
Sei K ein in Hinsicht auf einen Unterkörper P nicht-Archimedisch
geordneter Körper, N das System der in Hinsicht auf P unendlich
kleinen, IjN das der unendlich großen Elemente von K. In dem aus
K durch Fortlassen von 1JN entstehenden Ring ist N ein Prim-
ideal, das System W/W der Restklassen von $ nach N ein Körper,
der durch die Ordnung von K mitgeordnet wird.
Wir werden im folgenden eine „Durchlöcherung“ der Ordnungs-
postulate vornehmen, indem wir auf die Ordnung von W verzichten,
uns mit der Ordnung des Restklassenkörpers K\N begnügen. Die Ord-
nungsrelation besteht dann nicht mehr zwischen allen Elementen von
K, im allgemeinen nur noch zwischen solchen, die verschiedenen
Klassen von KfN angehören.
Wir werden aber im § 3 zeigen, daß aus dem Bestehen dieser
Ordnung im großen von K doch auf die Möglichkeit einer Ord-
nung von K selbst geschlossen werden kann, die diese Klassen-
ordnung umfaßt.
Da, wie im § 4 gezeigt wird, diese Restklassenkörperbildung eine
Art Archimedisierung der Ordnung von K bildet, d. h. K!N Archime-
disch ist, so kann man das Ergebnis des § 3 dahin deuten, daß durch
eine bestimmte Archimedische Ordnung, nämlich die des Restklassen-
körpers, die nicht-Archimedische Ordnung des Körpers wenigstens im
großen bestimmt wird.
Weiter werden wir im § 4 alle die „Ordnungen im großen“
von K. aufsuchen, die mit der Ordnung des Körpers selbst über-
einstimmen; wir werden sehen, daß man sie von der absolut-nicht-
Archimedischen Ordnung aus gewinnt, die entsteht, wenn man als
Körper P den Primkörper zugrunde legt.
’) cf. E. Artin und 0. Schreier: Algebraische Konstruktion reeller Körper;
Abh. aus d. math. Seminar der Hamburg. Universität V (1926) p. 85, welche Abhand-
ung liier mit A.-S. zitiert wird. -— Unsere Note entstand unabhängig von A.-S. im-
Sommer 1926; sie deckt sich übrigens mit A.-S. nur im Inhalt des § 1. Die Ordnungsl
postulate verdanke ich Gesprächen mit Herrn Prof. Dr. E. Zermelo in Freiburg i.Br.
1*
Von Reinhold Baer in Freiburg i. Br.
Einleitung.
Sei K ein in Hinsicht auf einen Unterkörper P nicht-Archimedisch
geordneter Körper, N das System der in Hinsicht auf P unendlich
kleinen, IjN das der unendlich großen Elemente von K. In dem aus
K durch Fortlassen von 1JN entstehenden Ring ist N ein Prim-
ideal, das System W/W der Restklassen von $ nach N ein Körper,
der durch die Ordnung von K mitgeordnet wird.
Wir werden im folgenden eine „Durchlöcherung“ der Ordnungs-
postulate vornehmen, indem wir auf die Ordnung von W verzichten,
uns mit der Ordnung des Restklassenkörpers K\N begnügen. Die Ord-
nungsrelation besteht dann nicht mehr zwischen allen Elementen von
K, im allgemeinen nur noch zwischen solchen, die verschiedenen
Klassen von KfN angehören.
Wir werden aber im § 3 zeigen, daß aus dem Bestehen dieser
Ordnung im großen von K doch auf die Möglichkeit einer Ord-
nung von K selbst geschlossen werden kann, die diese Klassen-
ordnung umfaßt.
Da, wie im § 4 gezeigt wird, diese Restklassenkörperbildung eine
Art Archimedisierung der Ordnung von K bildet, d. h. K!N Archime-
disch ist, so kann man das Ergebnis des § 3 dahin deuten, daß durch
eine bestimmte Archimedische Ordnung, nämlich die des Restklassen-
körpers, die nicht-Archimedische Ordnung des Körpers wenigstens im
großen bestimmt wird.
Weiter werden wir im § 4 alle die „Ordnungen im großen“
von K. aufsuchen, die mit der Ordnung des Körpers selbst über-
einstimmen; wir werden sehen, daß man sie von der absolut-nicht-
Archimedischen Ordnung aus gewinnt, die entsteht, wenn man als
Körper P den Primkörper zugrunde legt.
’) cf. E. Artin und 0. Schreier: Algebraische Konstruktion reeller Körper;
Abh. aus d. math. Seminar der Hamburg. Universität V (1926) p. 85, welche Abhand-
ung liier mit A.-S. zitiert wird. -— Unsere Note entstand unabhängig von A.-S. im-
Sommer 1926; sie deckt sich übrigens mit A.-S. nur im Inhalt des § 1. Die Ordnungsl
postulate verdanke ich Gesprächen mit Herrn Prof. Dr. E. Zermelo in Freiburg i.Br.
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