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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0068
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Heinrich Kapferer:
eine Identität in x' wird. Kombiniert man diese Identität mit (7),
so folgt: A = o (cp, tp). Damit ist Satz (5) bewiesen.
Nun ergibt sich der Satz (lb) sofort folgendermaßen: Was in (4)
für den Punkt x = av y = ß1 ausgedrückt ist, gilt entsprechend für jeden
Schnittpunkt von cp — o, ip — o; d. h. es ist
= ° (<U V7); AP2 = o(cp, yP)', . ... A - Pg = o (cp, ip)
wenn man allgemein unter Pi versteht:
Pi = (x- aff' (x - a2f\ ..(x- ct/s- (y-ßff1 (ij - ß2f\ .. (*/-&/'•’
: (x - aff* • (y - bif\
Vereinigt man obige s Kongruenzen durch Addition zu einer einzigen
und setzt P1-\-P2-[-. . .^r Ps= B, so wird
A - Beeo (cp, ?p).
Nun verschwindet aber das Polynom B in keinem Schnittpunkt von
= o, ip = o, weil für jeden dieser Punkte genau s —1 der Polynome
Pv P2, Ps verschwinden, der noch übrige, ste, aber nicht verschwindet.
[Hilfssatz 21] Dadurch wird der oben bewiesene Satz (5) anwendbar.
Darnach ist schon A = o (cp, ip). Somit ist der NoETHERsche Funda-
mentalsatz in der in zwei präzise Aussagen (la) und (lb) gespaltenen
Form allgemein bewiesen. Gleichzeitig hat sich eine obereSchranke
für die in Satz (1) unbestimmt gelassene Zahl q ergeben; denn o = 2/z
hat sich unmittelbar als in jedem Fall genügend groß erwiesen.
§ 2.
Eine Verschärfung1) des Noetherschen Fundamentalsatzes.
Die methodische Grundlage für alles Folgende bildet nachstehendes
Gleichungssystem:
fi ■ 9B.o,yP.y^ - ■ f^yYy^ = x\
t f2-9z(o,yY.y{0j) ~g2‘f2(o,yY.y^==xh2
ft • 9t(o,y)-.y{g9 — gt • ft(o,yYyW = xht
Dasselbe baut sich allein auf das vorgegebene Polynompaar cp, ip auf.
Um dies auseinanderzusetzen, ist-zunächst das Symbol (J.) allge-
mein zu erklären. Wenn A irgendein Polynom in x, y ist, so soll (A)
H Der Beweis des Hauptsatzes (21) kann auch direkt geführt werden,
und zwar unter Berufung auf Satz (5) von § 1, d. h. ohne die Zwischenstufe, als
welche der bisherige NoETHERsche Fundamentalsatz in diesem Zusammenhang
erscheint. Nachdem nun aber letzterer oben ausdrücklich bewiesen worden ist,
bedeutet es für das Folgende eine Abkürzung, wenn man sich auf ihn berufen kann
[siehe (14)]. Umgekehrt folgt übrigens letzterer, in der Fassung (2), leicht aus (21).
Heinrich Kapferer:
eine Identität in x' wird. Kombiniert man diese Identität mit (7),
so folgt: A = o (cp, tp). Damit ist Satz (5) bewiesen.
Nun ergibt sich der Satz (lb) sofort folgendermaßen: Was in (4)
für den Punkt x = av y = ß1 ausgedrückt ist, gilt entsprechend für jeden
Schnittpunkt von cp — o, ip — o; d. h. es ist
= ° (<U V7); AP2 = o(cp, yP)', . ... A - Pg = o (cp, ip)
wenn man allgemein unter Pi versteht:
Pi = (x- aff' (x - a2f\ ..(x- ct/s- (y-ßff1 (ij - ß2f\ .. (*/-&/'•’
: (x - aff* • (y - bif\
Vereinigt man obige s Kongruenzen durch Addition zu einer einzigen
und setzt P1-\-P2-[-. . .^r Ps= B, so wird
A - Beeo (cp, ?p).
Nun verschwindet aber das Polynom B in keinem Schnittpunkt von
= o, ip = o, weil für jeden dieser Punkte genau s —1 der Polynome
Pv P2, Ps verschwinden, der noch übrige, ste, aber nicht verschwindet.
[Hilfssatz 21] Dadurch wird der oben bewiesene Satz (5) anwendbar.
Darnach ist schon A = o (cp, ip). Somit ist der NoETHERsche Funda-
mentalsatz in der in zwei präzise Aussagen (la) und (lb) gespaltenen
Form allgemein bewiesen. Gleichzeitig hat sich eine obereSchranke
für die in Satz (1) unbestimmt gelassene Zahl q ergeben; denn o = 2/z
hat sich unmittelbar als in jedem Fall genügend groß erwiesen.
§ 2.
Eine Verschärfung1) des Noetherschen Fundamentalsatzes.
Die methodische Grundlage für alles Folgende bildet nachstehendes
Gleichungssystem:
fi ■ 9B.o,yP.y^ - ■ f^yYy^ = x\
t f2-9z(o,yY.y{0j) ~g2‘f2(o,yY.y^==xh2
ft • 9t(o,y)-.y{g9 — gt • ft(o,yYyW = xht
Dasselbe baut sich allein auf das vorgegebene Polynompaar cp, ip auf.
Um dies auseinanderzusetzen, ist-zunächst das Symbol (J.) allge-
mein zu erklären. Wenn A irgendein Polynom in x, y ist, so soll (A)
H Der Beweis des Hauptsatzes (21) kann auch direkt geführt werden,
und zwar unter Berufung auf Satz (5) von § 1, d. h. ohne die Zwischenstufe, als
welche der bisherige NoETHERsche Fundamentalsatz in diesem Zusammenhang
erscheint. Nachdem nun aber letzterer oben ausdrücklich bewiesen worden ist,
bedeutet es für das Folgende eine Abkürzung, wenn man sich auf ihn berufen kann
[siehe (14)]. Umgekehrt folgt übrigens letzterer, in der Fassung (2), leicht aus (21).