Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen. ß9
diejenige natürliche nicht negative ganze Zahl bedeuten, welche angibt,
wie oft y als Faktor in A (p, y) auftritt. Falls aber A (p, y)
identisch verschwindet, so soll (A) gleich oo gesetzt werden. Die Poly-
nome fr, sollen identisch sein mit ip bis eventuell auf die Reihen-
folge; diese soll nämlich so sein, daß (f-JU (^j ist. Durch diese Fest-
setzung, und nur dann, wird wie ersichtlich ist, ganz rational.
Die Polynome f2, g2 sind vollkommen identisch mit den Polynomen 7^
und gv bis eventuell auf die Reihenfolge; es soll nämlich wieder sein
(/*2) Durch diese Festsetzung, und nur dann, wird h2 ganz
rational. Allgemein soll das Polynompaar fr, gr identisch sein mit dem
Polynompaar hr_v gr_v jedoch so, daß (/).)> ((jQ ist.
Damit ist das System (8) vollständig erklärt. Um daraus weitere
Schlüsse ziehen zu können, sollen zwei Hilfssätze vorausgeschickt
werden, die die Polynome fv f2,.~. gv g2... betreffen.
Für v = 1, 2, 3 ... gelten die Kongruenzen:
‘ fv— o (,/ v> 9v) > %’9v+i — o (/ v’ 9v)
Beweis: Nach Definition sind/), + 1, + j bis auf die Reihenfolge
mit hv, gv identisch; nun ist aber, gemäß der rten Gleichung des
Systems (8) jedenfalls x -hv = o (fv, gv"); es bleibt also nur noch zu
zeigen, daß auch x-gv = o (J^g-if) ist. Das letztere ist aber in trivialer
Weise erfüllt. Ferner behaupten wir:
(10) Für v = 1, 2, 3... ist gv ± o (sc).
Beweis: Aus der Voraussetzung, daß und gr teilerfremd sind,
folgt, daß auch/2, g2, weil definitionsgemäß mit hv g,± identisch, wenigstens
keinen Teiler x gemeinsam besitzen können. Ebenso folgt, daß /"3
und gz nicht x als gemeinsamen Teiler besitzen usw. Wäre nun einmal
gv = o(x), also (^) = oo, so würde aus der Definitionsbedingung
(A)=((U) folgen, daß auch fv~o (x) ist, im Widerspruch mit den eben
bewiesenen.
Jetzt erst ziehe ich das zu untersuchende Polynom vy bei und
gehe aus von nachstehendem, ähnlich (8) aufgebauten Gleichungssystem:
^1'91 (0,1/) : (o, y) : = X • K2
(11) ■ 92.(0,y) ■. y^-g2-K2(o,y)-y^-^ == X •
■ 9t (o, y): y^ ~ 9t-p, y) : y^t) =x-Kt + 1
Dabei sind gv g2, . . . die durch (8) definierten Polynome. ist
identisch mit dem vorgegebenen K, während K2, K3, ... KtJrl durch (11)
erst definiert werden, und zwar wird K2 ersichtlich dann und nur

(9) {