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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0091
Bemerkungen zum Brandtsclien Gruppoid.
Von F. K. Schmidt in Erlangen.
In seiner Arbeit: ..Neue elementare Begründung und Erweiterung
der Galoisschen Theorie“1) hat Herr A. Loewy eine Verallgemeinerung
der Galoisschen Gruppe einer Gleichung eingeführt. Seine Betrachtungen
legen es nahe, die von ihm benutzten Begriffe abstrakt zu formulieren,
ihre Beziehung zum Gruppenbegriff bloßzulegen und damit die Trag-
weite des neuen Hilfsmittels abzustecken. Bei Beginn der hierauf ab-
zielenden Untersuchungen konnte ich durch die Freundlichkeit des
Herrn H. Brandt Einsicht in das Manuskript seines Aufsatzes2) nehmen,
in dem durch ganz andere, zahlentheoretische Probleme veranlaßt eine
entsprechende abstrakte Verallgemeinerung des Gruppenbegriffs vor-
genommen wird, und ich knüpfte daher meine weiteren Überlegungen
an die Ergebnisse des Herrn H. Brandt an. Bei ihrem Abschluß im Früh-
jahr dieses Jahres erfuhr ich, daß auch Herr A. Loewy unterdessen seine
Ideen in der bezeichneten Richtung weitergeführt habe. Da die Resul-
tate des Herrn A. Loewy sich weitgehend mit den meinigen decken3),
beschränke ich mich in § 1 der nachstehenden Note auf einige Bemerkun-
gen zu den Arbeiten der Herren H. Brandt und A. Loewy. In § 2 gebe ich
eine Anwendung auf die Galoissche Theorie abstrakter algebraischer
Körper. Zu diesem Zweck werden bekannte Sätze der Galoisschen
Theorie für beliebige Körper kurz neu bewiesen, wobei von der Art der
Erzeugung des Körpers vollständig abgesehen, vielmehr der Dedektnd-
schen Auffassung entsprechend die Gesamtheit aller Körperelemente
ins Auge gefaßt wird.
§ 1-
Die von den Herren H. Brandt und A. Loewy gegebenen Ver-
allgemeinerungen des Gruppenbegriffs weichen voneinander ab, lassen
sich jedoch leicht vollständig aufeinander beziehen.
1) Sitzungsber. d. Heidelb. Akad. 1925. 7. Abh.
2) H. Brandt, Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffs. Inzwischen
erschienen in den Math. Ann. Bd. 96, S. 360—366. Diese Arbeit wird im folgenden
mit „B. ‘ zitiert.
3) A. Loewy, Über abstrakt definierte Transmutationssysteme oder Misch-
gruppen. Die Arbeit wird im Festband 1926 des Crelleschen Journals publiziert.
Ihr Manuskript lag mir bei der Niederschrift meiner Note vor. Sie werde im folgen-
den mit „L.“ zitiert.
Von F. K. Schmidt in Erlangen.
In seiner Arbeit: ..Neue elementare Begründung und Erweiterung
der Galoisschen Theorie“1) hat Herr A. Loewy eine Verallgemeinerung
der Galoisschen Gruppe einer Gleichung eingeführt. Seine Betrachtungen
legen es nahe, die von ihm benutzten Begriffe abstrakt zu formulieren,
ihre Beziehung zum Gruppenbegriff bloßzulegen und damit die Trag-
weite des neuen Hilfsmittels abzustecken. Bei Beginn der hierauf ab-
zielenden Untersuchungen konnte ich durch die Freundlichkeit des
Herrn H. Brandt Einsicht in das Manuskript seines Aufsatzes2) nehmen,
in dem durch ganz andere, zahlentheoretische Probleme veranlaßt eine
entsprechende abstrakte Verallgemeinerung des Gruppenbegriffs vor-
genommen wird, und ich knüpfte daher meine weiteren Überlegungen
an die Ergebnisse des Herrn H. Brandt an. Bei ihrem Abschluß im Früh-
jahr dieses Jahres erfuhr ich, daß auch Herr A. Loewy unterdessen seine
Ideen in der bezeichneten Richtung weitergeführt habe. Da die Resul-
tate des Herrn A. Loewy sich weitgehend mit den meinigen decken3),
beschränke ich mich in § 1 der nachstehenden Note auf einige Bemerkun-
gen zu den Arbeiten der Herren H. Brandt und A. Loewy. In § 2 gebe ich
eine Anwendung auf die Galoissche Theorie abstrakter algebraischer
Körper. Zu diesem Zweck werden bekannte Sätze der Galoisschen
Theorie für beliebige Körper kurz neu bewiesen, wobei von der Art der
Erzeugung des Körpers vollständig abgesehen, vielmehr der Dedektnd-
schen Auffassung entsprechend die Gesamtheit aller Körperelemente
ins Auge gefaßt wird.
§ 1-
Die von den Herren H. Brandt und A. Loewy gegebenen Ver-
allgemeinerungen des Gruppenbegriffs weichen voneinander ab, lassen
sich jedoch leicht vollständig aufeinander beziehen.
1) Sitzungsber. d. Heidelb. Akad. 1925. 7. Abh.
2) H. Brandt, Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffs. Inzwischen
erschienen in den Math. Ann. Bd. 96, S. 360—366. Diese Arbeit wird im folgenden
mit „B. ‘ zitiert.
3) A. Loewy, Über abstrakt definierte Transmutationssysteme oder Misch-
gruppen. Die Arbeit wird im Festband 1926 des Crelleschen Journals publiziert.
Ihr Manuskript lag mir bei der Niederschrift meiner Note vor. Sie werde im folgen-
den mit „L.“ zitiert.