DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0092
92
Friedrich Karl Schmidt:
Herr H. Brandt legt der Betrachtung ein System von Elementen
zugrunde, für das eine Verknüpfungsoperation definiert ist, die wir als
Multiplikation schreiben wollen. Diese Verknüpfungsoperation braucht
jedoch nicht wie bei der Gruppe auf je zwei Elemente des Systems an-
wendbar zu sein; es wird vielmehr nur vorausgesetzt, daß das Produkt
A B gewisser geordneter Paare A, B von Elementen des Systems wieder
ein Element des Systems ergibt, während das Produkt gewisser anderer
Elementepaare nicht zu existieren braucht. Ein solches System be-
zeichnet Herr H. Brandt als Gruppoid F, wenn folgende vier Postulate
erfüllt sind r):
I. Wenn zwischen drei Elementen A„B, C eine Beziehung AB = C
besteht, so ist jedes der drei Elemente A, B, C durch die beiden andern
eindeutig bestimmt.
II. Wenn A B und B C existiert, so existiert auch ( A B) C und
A (B C), wenn A B und (A B) C existiert, so existiert auch B C und
A (B C), wenn B C und A (B C) existiert, so existiert auch A B und
(AB) C und jedesmal ist (AB) C = A (B C), so daß dafür auch
ABC geschrieben werden kann.
III. Für irgendein Element A existieren stets die folgenden ein-
deutig bestimmten Elemente, die Rechtseinheit E, die Linkseinheit Ez
und das inverse Element A, derart, daß die Beziehungen bestehen:
A E = A, E' A = A, Ä A = E.
IV. Für irgend zwei Einheiten E, E' gibt es stets Elemente A, so
daß E Rechtseinheit und E' Linkseinheit von A ist.
Aus diesen Postulaten ergibt sich, daß zwei Elemente A, B in dieser
Reihenfolge genommen dann und nur dann verknüpfbar sind, wenn die
Rechtseinheit von A mit der Linkseinheit von B übereinstimmt. Alle
Elemente aus P, für die eine fest gewählte Einheit E zugleich Rechts-
und Linkseinheit ist, sind also unbeschränkt komponierbar und bilden
daher eine Gruppe. Die Elemente dieser Gruppe nennt Herr H. Brandt
einander doppelt zugehörig. Sie bilden eine Untermenge der Gesamtheit
aller Elemente, die mit E links- (bzw. rechts-) seitig multipliziert werden
können und die einander links (bzw. rechts) zugehörig heißen. Umfaßt
das Gruppoid F nur endlich viele Elemente, so wird unter dem Rang
r von r die Anzahl der verschiedenen Einheiten von F verstanden und
unter der Ordnung von P die von der Wahl der Einheit E unabhängige
Zahl der E doppelt zugehörigen Elemente. Ein Gruppoid ist dann und
nur dann eine Gruppe, wenn es bloß eine Einheit besitzt.
) Vgl. B.. S. 361-362.
Friedrich Karl Schmidt:
Herr H. Brandt legt der Betrachtung ein System von Elementen
zugrunde, für das eine Verknüpfungsoperation definiert ist, die wir als
Multiplikation schreiben wollen. Diese Verknüpfungsoperation braucht
jedoch nicht wie bei der Gruppe auf je zwei Elemente des Systems an-
wendbar zu sein; es wird vielmehr nur vorausgesetzt, daß das Produkt
A B gewisser geordneter Paare A, B von Elementen des Systems wieder
ein Element des Systems ergibt, während das Produkt gewisser anderer
Elementepaare nicht zu existieren braucht. Ein solches System be-
zeichnet Herr H. Brandt als Gruppoid F, wenn folgende vier Postulate
erfüllt sind r):
I. Wenn zwischen drei Elementen A„B, C eine Beziehung AB = C
besteht, so ist jedes der drei Elemente A, B, C durch die beiden andern
eindeutig bestimmt.
II. Wenn A B und B C existiert, so existiert auch ( A B) C und
A (B C), wenn A B und (A B) C existiert, so existiert auch B C und
A (B C), wenn B C und A (B C) existiert, so existiert auch A B und
(AB) C und jedesmal ist (AB) C = A (B C), so daß dafür auch
ABC geschrieben werden kann.
III. Für irgendein Element A existieren stets die folgenden ein-
deutig bestimmten Elemente, die Rechtseinheit E, die Linkseinheit Ez
und das inverse Element A, derart, daß die Beziehungen bestehen:
A E = A, E' A = A, Ä A = E.
IV. Für irgend zwei Einheiten E, E' gibt es stets Elemente A, so
daß E Rechtseinheit und E' Linkseinheit von A ist.
Aus diesen Postulaten ergibt sich, daß zwei Elemente A, B in dieser
Reihenfolge genommen dann und nur dann verknüpfbar sind, wenn die
Rechtseinheit von A mit der Linkseinheit von B übereinstimmt. Alle
Elemente aus P, für die eine fest gewählte Einheit E zugleich Rechts-
und Linkseinheit ist, sind also unbeschränkt komponierbar und bilden
daher eine Gruppe. Die Elemente dieser Gruppe nennt Herr H. Brandt
einander doppelt zugehörig. Sie bilden eine Untermenge der Gesamtheit
aller Elemente, die mit E links- (bzw. rechts-) seitig multipliziert werden
können und die einander links (bzw. rechts) zugehörig heißen. Umfaßt
das Gruppoid F nur endlich viele Elemente, so wird unter dem Rang
r von r die Anzahl der verschiedenen Einheiten von F verstanden und
unter der Ordnung von P die von der Wahl der Einheit E unabhängige
Zahl der E doppelt zugehörigen Elemente. Ein Gruppoid ist dann und
nur dann eine Gruppe, wenn es bloß eine Einheit besitzt.
) Vgl. B.. S. 361-362.