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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0052
52 Heinrich Kapferer:
verschwindet, D2 und D3 die analoge Bedeutung für B bzw. C haben,
so gilt nach dem vorgenannten Hilfssatz:
MyA.B) = M(AyBy,MXA,C) = M(Aycy,MXA,BC)=M(A',B'C'').
Die zu beweisende Relation für die Symbole AI' hat sich also reduziert
auf die analoge für die Symbole M, nämlich
AI(Ar, B') + AI(A', C') = B'C'ß
Diese aber ist nach Voraussetzung richtig.
B. Nicht homogene Polynome.
§ 10. Das Postulatsystem I', II', III', IV'.
Im Bisherigen bezog sich der Begriff* Multiplizität immer auf
homogene Polynome in drei Variabein. Bei verschiedenen Anlässen, wie
z. B. in algebraischer Geometrie, in der Theorie der Elimination, der
Polynomideale, benötigt man den Multiplizitätsbegriff auch bei nicht
homogen geschriebenen Polynomen in zwei Variabein. Hier handelt
es sich jedoch insofern um einen etwas engeren Begriff, als er sich
nicht mehr auf alle gemeinsamen Nullstellen der beiden Polynome
bezieht, nämlich nicht mehr auf die sogenannten „im Unendlichen
liegenden“. Bei homogenen Polynomen in drei Variabein fällt diese
Unterscheidung der Nullstellen in „endliche“ und „unendliche“ natur-
gemäß fort. Nachdem bei homogenen Polynomen die Multiplizität
eindeutig festgelegt ist, ist es naheliegend, den entsprechenden Begriff
bei nicht homogenen Polynomen in folgender Weise auf den ersteren
zurückzuführen.
Definition:
M B(x>ytl)) für Punkt x = a, y = ß
= AI(A(x, ytZ), B^y> z)) für Punkt x = a, y = ß, z = 1.
Auf Grund der gegebenen Definition werden aus jenen vier Eigen-
schaften, die für homogene Polynome in den vier Postulaten ausgedrückt
sind, indem man durchweg £ = 1 setzt, sofort vier „Sätze“ I', IP, IIP,
IV' für nicht homogene Polynompaare, und es folgt unmittelbar, unter
Berufung auf die gegebene Definition:
Die Sätze P, IP, IIP, IV', als Postulate für die Sym-
bole AI (A^^iy, B(x>v>1)) aufgefaßt, bilden ein kategorisches
System von Postulaten.
Der Satz IV', der von IV her noch die Bedingung enthält, daß
Polymon t höchstens von der Ordnung m — n bzw. n—m in x, y ist,
verschwindet, D2 und D3 die analoge Bedeutung für B bzw. C haben,
so gilt nach dem vorgenannten Hilfssatz:
MyA.B) = M(AyBy,MXA,C) = M(Aycy,MXA,BC)=M(A',B'C'').
Die zu beweisende Relation für die Symbole AI' hat sich also reduziert
auf die analoge für die Symbole M, nämlich
AI(Ar, B') + AI(A', C') = B'C'ß
Diese aber ist nach Voraussetzung richtig.
B. Nicht homogene Polynome.
§ 10. Das Postulatsystem I', II', III', IV'.
Im Bisherigen bezog sich der Begriff* Multiplizität immer auf
homogene Polynome in drei Variabein. Bei verschiedenen Anlässen, wie
z. B. in algebraischer Geometrie, in der Theorie der Elimination, der
Polynomideale, benötigt man den Multiplizitätsbegriff auch bei nicht
homogen geschriebenen Polynomen in zwei Variabein. Hier handelt
es sich jedoch insofern um einen etwas engeren Begriff, als er sich
nicht mehr auf alle gemeinsamen Nullstellen der beiden Polynome
bezieht, nämlich nicht mehr auf die sogenannten „im Unendlichen
liegenden“. Bei homogenen Polynomen in drei Variabein fällt diese
Unterscheidung der Nullstellen in „endliche“ und „unendliche“ natur-
gemäß fort. Nachdem bei homogenen Polynomen die Multiplizität
eindeutig festgelegt ist, ist es naheliegend, den entsprechenden Begriff
bei nicht homogenen Polynomen in folgender Weise auf den ersteren
zurückzuführen.
Definition:
M B(x>ytl)) für Punkt x = a, y = ß
= AI(A(x, ytZ), B^y> z)) für Punkt x = a, y = ß, z = 1.
Auf Grund der gegebenen Definition werden aus jenen vier Eigen-
schaften, die für homogene Polynome in den vier Postulaten ausgedrückt
sind, indem man durchweg £ = 1 setzt, sofort vier „Sätze“ I', IP, IIP,
IV' für nicht homogene Polynompaare, und es folgt unmittelbar, unter
Berufung auf die gegebene Definition:
Die Sätze P, IP, IIP, IV', als Postulate für die Sym-
bole AI (A^^iy, B(x>v>1)) aufgefaßt, bilden ein kategorisches
System von Postulaten.
Der Satz IV', der von IV her noch die Bedingung enthält, daß
Polymon t höchstens von der Ordnung m — n bzw. n—m in x, y ist,