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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0063
Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen. 63
lieh 9? den betreffenden Punkt genau «-fach, y> denselben genau x-fach
besitzt, die Multiplizität desselben als Schnittpunkt aber a genannt
wird, so gilt. Minimum Q ju. — (i — 1) (x — 1),
d. h. die Zahl /z — (i — 1) (x — 1) ist eine genügend große Zahl für das o
des Satzes (la). In dieser von Bertini l) gegebenen Präzisierung des
Noether sehen Satzes ist der ältere, von Max Noether selbst stam-
mende Satz für den sog. „einfachen“ Fall implizite enthalten, nämlich
der Satz für den Fall /z = Dx, in welchem Fall die obige BERTiNische
Zahl mit der von M. Noether angegebenen Zahl « + x — 1 identisch wird.
Aber selbst wenn der Minimalwert von q in jedem Fall explizite
bekannt wäre, so hätte man noch nicht die gewünschten notwendigen
und hinreichenden Bedingungen für K=o(c[); denn K=o(‘pe') ist
keine notwendige Bedingung für K o (<p, ip,
Wir werden nun zunächst (§ 1) den Noether sehen Fundamental-
satz, auf den wir uns in der Folge wiederholt berufen werden, in der
Fassung la, 1b auf eine durchsichtige Art beweisen, und zwar deshalb,
weil es sich hierbei um einen neuen und kurzen Beweis handelt.
Derselbe gibt gleichzeitig auch eine obere Schranke für q.
§ 2 liefert den Hauptsatz der vorliegenden Abhandlung. In § 3
werden Anwendungen auf zwei spezielle Probleme gegeben.
§1-
Ein neuer Beweis des Noetherschen Fundamentalsatzes,
Wir werden die Sätze (la) und (1b) einzeln und direkt beweisen.
Der Beweis gründet sich auf vier kleine Hilfssätze. Der Vollständig-
keit wegen, und weil explizite Beweise, die doch wünschenswert sind,
nirgends zu finden sind, wie mir scheint, werden dieselben unten (in
kleinerem Druck) explizite bewiesen. Gemeinsame Voraussetzung der
vier Hilfssätze ist:
(p und «p sind irgendwelche zwei algebraische teilerfremde Polynome
in x, y; x — aiy y — ßi für i=l, 2,. ..s das vollständige Nullstellen-
system; y,i für « = 1, 2 .. . s die nach Bezouts Satz eindeutig zugehörigen
Multiplizitätszahlen. Durch die lineare Transformation x = x + vy',
y = wx' Ky' möge (p(X,y), W[x,y) in (p\x‘,y‘), v\x‘,y‘) und die Nullstellen
ai, ßi in a'i, ßi übergehen. Wenn nun die Substitutionsdeterminante
*) E. Bertini „Präzisierung eines NoETHERRschen Satzes“, Mathern. Annalen
(34), 1889. Über obere Schranken bei ähnlichen, aber viel allgemeineren Frage-
stellungen vgl. man G. Hermann „Die Frage der endlich vielen Schritte in
der Theorie der Polynomideale, unter Benutzung nachgelassener Sätze von
K. Hentzelt“, Mathern. Annalen 95.
lieh 9? den betreffenden Punkt genau «-fach, y> denselben genau x-fach
besitzt, die Multiplizität desselben als Schnittpunkt aber a genannt
wird, so gilt. Minimum Q ju. — (i — 1) (x — 1),
d. h. die Zahl /z — (i — 1) (x — 1) ist eine genügend große Zahl für das o
des Satzes (la). In dieser von Bertini l) gegebenen Präzisierung des
Noether sehen Satzes ist der ältere, von Max Noether selbst stam-
mende Satz für den sog. „einfachen“ Fall implizite enthalten, nämlich
der Satz für den Fall /z = Dx, in welchem Fall die obige BERTiNische
Zahl mit der von M. Noether angegebenen Zahl « + x — 1 identisch wird.
Aber selbst wenn der Minimalwert von q in jedem Fall explizite
bekannt wäre, so hätte man noch nicht die gewünschten notwendigen
und hinreichenden Bedingungen für K=o(c[); denn K=o(‘pe') ist
keine notwendige Bedingung für K o (<p, ip,
Wir werden nun zunächst (§ 1) den Noether sehen Fundamental-
satz, auf den wir uns in der Folge wiederholt berufen werden, in der
Fassung la, 1b auf eine durchsichtige Art beweisen, und zwar deshalb,
weil es sich hierbei um einen neuen und kurzen Beweis handelt.
Derselbe gibt gleichzeitig auch eine obere Schranke für q.
§ 2 liefert den Hauptsatz der vorliegenden Abhandlung. In § 3
werden Anwendungen auf zwei spezielle Probleme gegeben.
§1-
Ein neuer Beweis des Noetherschen Fundamentalsatzes,
Wir werden die Sätze (la) und (1b) einzeln und direkt beweisen.
Der Beweis gründet sich auf vier kleine Hilfssätze. Der Vollständig-
keit wegen, und weil explizite Beweise, die doch wünschenswert sind,
nirgends zu finden sind, wie mir scheint, werden dieselben unten (in
kleinerem Druck) explizite bewiesen. Gemeinsame Voraussetzung der
vier Hilfssätze ist:
(p und «p sind irgendwelche zwei algebraische teilerfremde Polynome
in x, y; x — aiy y — ßi für i=l, 2,. ..s das vollständige Nullstellen-
system; y,i für « = 1, 2 .. . s die nach Bezouts Satz eindeutig zugehörigen
Multiplizitätszahlen. Durch die lineare Transformation x = x + vy',
y = wx' Ky' möge (p(X,y), W[x,y) in (p\x‘,y‘), v\x‘,y‘) und die Nullstellen
ai, ßi in a'i, ßi übergehen. Wenn nun die Substitutionsdeterminante
*) E. Bertini „Präzisierung eines NoETHERRschen Satzes“, Mathern. Annalen
(34), 1889. Über obere Schranken bei ähnlichen, aber viel allgemeineren Frage-
stellungen vgl. man G. Hermann „Die Frage der endlich vielen Schritte in
der Theorie der Polynomideale, unter Benutzung nachgelassener Sätze von
K. Hentzelt“, Mathern. Annalen 95.