Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Kapferer:

1 — v • w 4 o ist, und wenn man ferner gewisse endlich viele (angebbare
und auch unten angegebene) Werte für v und w ausschließt, so gelten
folgende vier Sätze:
Hilfssatz 1. A / , '
11 (x — ai) =.o(cp )
i=l
n {y' - ßi)^ = o{(p', ip1)
i=l
Hilfssatz 2. Sämtliche a[ sind unter sich verschieden;
sämtliche ßl sind unter sich verschieden.
Hilfssatz 3. B(x,y) sei ein weiteres Polynom in x, y, das in
keinem der genannten Punkte x = aif y = ßi verschwindet.
x — rp, y — sp sei für p = 1, 2 ... das volle Schnittpunktsystem
von (p = o, B — o; x = gq, y = aq sei für q — 1, 2 ... das volle
Schnittpunktsystem von ip = o, B — o. Durch obengenannte
Transformation möge B(X> yy in B\x>t y>) und die eben genannten
Koordinaten in tp, sp bzw. oq, oq übergehen. Wenn man nun
wieder gewisse endlich viele Werte für v und w ausschließt,
so wird kein rp mit irgendeinem oq übereinstimmen.
Hilfs satz 4. A und B seien irgend zwei Polynome in x, y, derart, daß
A- B = o (q), aber Bio (p),
wo h und q die unter (1) und (la) erklärte Bedeutung haben;
dann gilt schon . , .
A=o (q).

Beweis von Hilfssatz 1.
Ich gehe von der nicht homogenen Schreibweise <p (a?, y, 1), ip (x, y, 1) zur
homogenen Schreibweise <p (a?, y, z), yj (x, y, z) über und benütze die Mertens-
sche1) Resultantendefinition für n-Formen /l, fi, . . . fn mit ebensovielen
Variabein. Die MERTENSsche Resultante R hat die Eigenschaft
= 0 (/i, fa, . . . fn
wo xi irgendeine der n-Variabeln und x^ eine genügend hohe Potenz davon ist.
Spezialisiert auf zwei ternäre Formen <pm(xyz), ipntxyz) von mter und «ter
Ordnung und eine dritte, aber lineare Form
Z = ux -j- vy + wz
mit unbestimmten u, v, w, läßt sich R in folgender Weise darstellen
[Mertens (1899) a. a. 0. pag. 1366/71]:
h h m .n
Z ■ R = Z l'yi + = 0 (cp, y>, l),
Wo x = ^, y = yi, z = die Gesamtheit der gemeinsamen Nullstellen der homo-
genen Polynome cp und ip bedeutet. In allen Fällen, wo 'Q f o ist, darf man

x) Mertens’ Abhandlungen „Zur Theorie der Elimination“, Sitzungs-
berichte der Wiener Akademie, Bd. 93, 2 (1886) und (zwei Abhandlungen) in
Bd. 108, 2 a (1899).