DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0046
46
Heinrich Käpferer:
rungen aus IVb. Vorschrift 7 ist in III enthalten. Vorschrift 8 kann
so bewiesen werden: Wegen der in III und IV gelegenen Symmetrie-
eigenschaft bleiben die Gleichungen der Vorschriften 4 und 6 richtig,
wenn in ihnen durchweg je zwei durch ein Komma getrennte Polynome
miteinander vertauscht werden.
Vorschrift 9 ist eine Folge von III; denn für B=1 lautet Illa so:
(A, 1)+ (A, Z) = (A, l); also muß (A, 1) = o sein; ebenso folgt aus Illb
für A = 1, daß (1, B) = o ist.
Vorschrift 10 ist wiederum ein Ergebnis wiederholter Anwendung
von Illa und IIIb. Vorschrift 11 folgt so: Nach IIIb ist
(A g) = (g* f> g) — (gx, g\> nach iva ist
fz—gz
W,g)=(gxf-z -fig,g\
Vorschrift 12 folgt so: Nach Illa ist (/, g') = (f} —
< gz—fz \
nach IVb ist f.tg = {f, f\g — z gxf)’
Somit sind alle zwölf Vorschriften Folgerungen aus den vier Postu-
laten. Wir dürfen also von nun an die Symbole (LT, F) und
AZ(LT, F) als miteinander identisch betrachten. Dies bedeutet
aber soviel wie: das Postulatsystem ist kategorisch, d. h. eindeutig.
II. Teil: Folgerungen.
A. Homogene Polynome.
§ 6. Der Bezoutsche Satz.
Unter dem Symbol [ü, F], wo U und F teilerfremde Formen sind,
verstehen wir 2 (LT, F), erstreckt über alle verschiedenen gemein-
samen Punkte P von U und F.
AHe Relationen und Sätze über die Symbole (LT, F), soweit sie
keine Bedingung für den Punkt P aussprechen, sondern gleichmäßig
für alle P gelten, also die Postulate III und IV und die Vorschriften
3 bis 12 in § 3, und folglich alle daraus abgeleiteten Relationen, gelten
ohne weiteres für die Symbole [U, Fj. Eine solche abgeleitete Re-
lation ist z. B. das Vertauschungsgesetz (LT, F)=(F, LT), so daß jetzt
auch [U, V] = [V, U\ eine richtige Relation ist.
Der BEZOUTsche Satz folgt nun in wenigen Schritten:
Wir benützen die „Vorschriften“ von § 3 und die dort erklärten
Bezeichnungen:
Heinrich Käpferer:
rungen aus IVb. Vorschrift 7 ist in III enthalten. Vorschrift 8 kann
so bewiesen werden: Wegen der in III und IV gelegenen Symmetrie-
eigenschaft bleiben die Gleichungen der Vorschriften 4 und 6 richtig,
wenn in ihnen durchweg je zwei durch ein Komma getrennte Polynome
miteinander vertauscht werden.
Vorschrift 9 ist eine Folge von III; denn für B=1 lautet Illa so:
(A, 1)+ (A, Z) = (A, l); also muß (A, 1) = o sein; ebenso folgt aus Illb
für A = 1, daß (1, B) = o ist.
Vorschrift 10 ist wiederum ein Ergebnis wiederholter Anwendung
von Illa und IIIb. Vorschrift 11 folgt so: Nach IIIb ist
(A g) = (g* f> g) — (gx, g\> nach iva ist
fz—gz
W,g)=(gxf-z -fig,g\
Vorschrift 12 folgt so: Nach Illa ist (/, g') = (f} —
< gz—fz \
nach IVb ist f.tg = {f, f\g — z gxf)’
Somit sind alle zwölf Vorschriften Folgerungen aus den vier Postu-
laten. Wir dürfen also von nun an die Symbole (LT, F) und
AZ(LT, F) als miteinander identisch betrachten. Dies bedeutet
aber soviel wie: das Postulatsystem ist kategorisch, d. h. eindeutig.
II. Teil: Folgerungen.
A. Homogene Polynome.
§ 6. Der Bezoutsche Satz.
Unter dem Symbol [ü, F], wo U und F teilerfremde Formen sind,
verstehen wir 2 (LT, F), erstreckt über alle verschiedenen gemein-
samen Punkte P von U und F.
AHe Relationen und Sätze über die Symbole (LT, F), soweit sie
keine Bedingung für den Punkt P aussprechen, sondern gleichmäßig
für alle P gelten, also die Postulate III und IV und die Vorschriften
3 bis 12 in § 3, und folglich alle daraus abgeleiteten Relationen, gelten
ohne weiteres für die Symbole [U, Fj. Eine solche abgeleitete Re-
lation ist z. B. das Vertauschungsgesetz (LT, F)=(F, LT), so daß jetzt
auch [U, V] = [V, U\ eine richtige Relation ist.
Der BEZOUTsche Satz folgt nun in wenigen Schritten:
Wir benützen die „Vorschriften“ von § 3 und die dort erklärten
Bezeichnungen: