Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes. 47
1. [Z, l'] = 1, wenn l und V die Bedeutung von Postulat I hat;
denn l und Z' haben eben nur einen einzigen gemeinsamen Punkt, und
dessen Multiplizität ist nach Postulat II gleich 1.
m n m
2. [fo, 9o\= 2 K = 2 2 \-a» = m ■ n’ eine FolSe des '
i=l x=l i=l
vorigen Satzes und der Vorschriften 3, 4 und 7.
n
3. [rx + sy, g] = [rx sy, cx] = 1 ■ n, wo die binäre lineare
x=l
Formen in y, z oder z, x sind, gemäß Vorschrift 6 und 7.
m nm
4. [fo, g\ = 2 = 2 2 K,m ■w’ eine Folge des
X = 1 i=l ‘
vorigen Satzes und von Postulat III.
K ii Der Satz: [f, g] = m-n ist richtig für fz = v, gz = w mit
plw, falls er schon richtig ist für fz<^v—1, gz = w,
da nämlich [f, g\ = [g, /], so ist es nur Sache der Bezeichnung anzu-
nehmen, daß gerade fzG^gz ist; dann wird zufolge Vorschrift 11:
[f,g] = [f^'9\-[gw9\ für f'=gKf—z .fi9.
Wegen fz<gfz ist fz<v—1 und daher, zufolge der gemachten Vor-
aussetzung, [f,' g] = (m + x) • n; [t/x, </] = x • n, also, was zu beweisen
war, [f,g] = m • n.
6. Aus Vorschrift 10 folgt:
[P, <r] = [/o, c/0] + [f0, g] + [f, g0] -f- [f, g\.
Falls nun m0, n0, m, n die Ordnungszahlen bzw. von f0, g0, f, g sind, so
folgt nach den eben bewiesenen Sätzen:
[F, Gr] = m0 • n0 + m0 • n 4- m • w0 + m -n = (gn -j- w?0) (w -j- w0).
Wir haben also bewiesen:
Die (F1,Cr) erstreckt über alle verschiedenen gemein-
' samen Punkte von F und G, ist immer gleich dem
Produkt der Ordnungszahlen von F und G.
Damit ist der BEZoursche Satz bewiesen, dem wir folgende
Fassung geben:
Zwei algebraisch teilerfremde Formen in ein oder zwei
oder drei derVariabelno;, ?/, £ haben immer genau soviele
Schnittpunkte, als das Produkt der Ordnungszahlen der