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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0015
Algebraische Theorie
der differentiierbaren Funktionenkörper I.
Von Reinhold Baer in Freiburg i. Br.
Einleitung.
In einem Bereich differentiierbarer Funktionen kann man auf
Grund der Kenntnis der Ableitung gewisser Funktionen — einer
„Basis“ des Bereichs — die Ableitung einer beliebigen Funktion
gewinnen, indem man formal die Regeln für den Differentialquotienten
von Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Funktionenfunktionen
an wendet. Hierzu ist aber nicht mehr nötig, irgend etwas über Stetig-
keitsverhältnisse zu wissen, nicht einmal die übliche Definition des
Differentialquotienten als Grenzwert hat man zu kennen; man ver-
zichtet also im Grunde auf die Bestimmung der Funktionen durch
ihren Wertevorrat, benötigt nur noch ihre algebraische Beziehung
zur „Basis“. Man kann sich also die Frage vorlegen, imvieweit sich
dieser Begriff' der Analiysis rein algebr aisch beherrschen läßt.
Dann wird man aber als Grundbereich einen beliebigen Körper
zugrunde legen und versuchen, in ihm eine Ableitung zu definieren,
d. h. zu jedem Element seine Ableitung so zu bestimmen, daß den
obengenannten formalen Regeln genügt wird.1) Hierbei wird man
allerdings — wenigstens zunächst — auf die Regel über die Ableitung
von Funktionenfunktionen verzichten, da es sehr wohl Funktionen-
körper gibt, in denen zwar differentiiert werden kann, die Bildung von
Funktionenfunktionen aber gar nicht möglich ist — i. a. nämlich die,
in denen sich kein x, d. h. kein Element findet, dessen Ableitung = 1
ist. Versteht man, wie üblich, unter Konstanten die Elemente, deren
Ableitung verschwindet, so stellt sich zunächst die Frage: wann ist
es möglich, in einem gegebenen Körper Ableitungen im oben bestimmten
Sinne so zu definieren, daß ein vorgegebener Teilbereich des Körpers
Konstantenbereich wird?
B Solche Systeme betrachtet zuerst: A. Loewy: Math. Ann. Bd. 56 (1903)
p. 550; Bd. 62 (1906) p. 89. Ein abstraktes Postulatsystem findet sich bei
H. Blumberg: Diss. Göttingen 1912 Abschnitt V.
der differentiierbaren Funktionenkörper I.
Von Reinhold Baer in Freiburg i. Br.
Einleitung.
In einem Bereich differentiierbarer Funktionen kann man auf
Grund der Kenntnis der Ableitung gewisser Funktionen — einer
„Basis“ des Bereichs — die Ableitung einer beliebigen Funktion
gewinnen, indem man formal die Regeln für den Differentialquotienten
von Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Funktionenfunktionen
an wendet. Hierzu ist aber nicht mehr nötig, irgend etwas über Stetig-
keitsverhältnisse zu wissen, nicht einmal die übliche Definition des
Differentialquotienten als Grenzwert hat man zu kennen; man ver-
zichtet also im Grunde auf die Bestimmung der Funktionen durch
ihren Wertevorrat, benötigt nur noch ihre algebraische Beziehung
zur „Basis“. Man kann sich also die Frage vorlegen, imvieweit sich
dieser Begriff' der Analiysis rein algebr aisch beherrschen läßt.
Dann wird man aber als Grundbereich einen beliebigen Körper
zugrunde legen und versuchen, in ihm eine Ableitung zu definieren,
d. h. zu jedem Element seine Ableitung so zu bestimmen, daß den
obengenannten formalen Regeln genügt wird.1) Hierbei wird man
allerdings — wenigstens zunächst — auf die Regel über die Ableitung
von Funktionenfunktionen verzichten, da es sehr wohl Funktionen-
körper gibt, in denen zwar differentiiert werden kann, die Bildung von
Funktionenfunktionen aber gar nicht möglich ist — i. a. nämlich die,
in denen sich kein x, d. h. kein Element findet, dessen Ableitung = 1
ist. Versteht man, wie üblich, unter Konstanten die Elemente, deren
Ableitung verschwindet, so stellt sich zunächst die Frage: wann ist
es möglich, in einem gegebenen Körper Ableitungen im oben bestimmten
Sinne so zu definieren, daß ein vorgegebener Teilbereich des Körpers
Konstantenbereich wird?
B Solche Systeme betrachtet zuerst: A. Loewy: Math. Ann. Bd. 56 (1903)
p. 550; Bd. 62 (1906) p. 89. Ein abstraktes Postulatsystem findet sich bei
H. Blumberg: Diss. Göttingen 1912 Abschnitt V.