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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0097
Bemerkungen zum Brandtschen Gruppoid.
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bzw. Ä stellen wir ebenso wie auf S. 7 alle Systeme S' bzw. S von je s
bzw. g Elementen her und betrachten dann alle Systeme der Gestalt
R = {G, S', S}, wo an erster Stelle ein beliebiges Element G aus g, an
zweiter bzw. dritter Stelle ein beliebiges System S' bzw. S steht. Er-
klären wir die Multiplikation solcher Systeme durch die Formel {G13
S 15 Sx} {G2, S 2, S2} = {Gj G2, S\ S'2, Sj S2}, so bilden die Systeme R
eine Gruppe Das Faktorgruppoid von ($ nach der Untergruppe (b0
aller Systeme R, bei denen an erster Stelle die Einheit E vorkommt,
an zweiter bzw. dritter Stelle irgendein S' bzw. S mit einer Einheit als
erster Komponente, hat den Rang r und dieselbe Ordnung wie g.
ist also zu r isomorph. Ferner ist H die Zwischengruppe ,£j aller R zu-
geordnet, die an erster Stelle ein beliebiges Element aus [) aufweisen,
an zweiter ein beliebiges System Sz und an dritter ein System 8 mit
einer Einheit als erster Komponente. Endlich erkennt man, daß auch
r/H und Oi/Ö isomorph sind.
§ 2.
Die im vorigen Paragraphen besprochenen Begriffsbildungen hat
Herr A. Loewy in seiner eingangs erwähnten Arbeit zur Galoisschen
Theorie bereits teilweise implicite benutzt. Seine Untersuchungen, die
sich zunächst nur auf Zahlkörper beziehen, sollen im nachstehenden für
beliebige abstrakte Körper kurz neu dargestellt, und die oben gemachten
Bemerkungen auf sie angewandt werden.
Der Inhalt der Galoisschen Theorie kann folgendermaßen gekenn-
zeichnet werden: Ist 9t ein endlicher Normalkörper über einem beliebigen
Körper St1), so wird durch systematisches Studium aller Automorphismen
von 9t, bei denen die Elemente von Ä einzeln ungeändert bleiben, ein voll-
ständiger Überblick über alle Zwischenkörper zwischen St und 9t und
deren Natur gewonnen. Die Erweiterung, die Herr A. Loewy vornimmt,
besteht nun darin, daß er an Stelle des Normalkörpers 9t einen beliebigen
endlichen Oberkörper 9)t von zugrunde legt. 9k läßt sich stets als
Unterkörper in einen (im folgenden festzuhaltenden) Normalkörper 9t
einbetten. Zugleich mit 9k = 9k(1) werden dann alle diejenigen Unter-
körper 9k(2), 9k(3), . . . von 9t ins Auge gefaßt, auf die 9k durch eine
isomorphe Abbildung bezogen werden kann, welche die Elemente von St
einzeln sich selbst zuordnet. Diese Körper heißen die Konjugierten von
1) Ein Körper 9t heißt nach E. Steinitz Normalkörper über St, wenn 1. 9t
algebraisch ist über $ und 2. ein über St irreduzibles Polynom, das über
9t einen Linearfaktor abspaltet, stets über 9t vollständig in Linearfaktoren
zerfällt.
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bzw. Ä stellen wir ebenso wie auf S. 7 alle Systeme S' bzw. S von je s
bzw. g Elementen her und betrachten dann alle Systeme der Gestalt
R = {G, S', S}, wo an erster Stelle ein beliebiges Element G aus g, an
zweiter bzw. dritter Stelle ein beliebiges System S' bzw. S steht. Er-
klären wir die Multiplikation solcher Systeme durch die Formel {G13
S 15 Sx} {G2, S 2, S2} = {Gj G2, S\ S'2, Sj S2}, so bilden die Systeme R
eine Gruppe Das Faktorgruppoid von ($ nach der Untergruppe (b0
aller Systeme R, bei denen an erster Stelle die Einheit E vorkommt,
an zweiter bzw. dritter Stelle irgendein S' bzw. S mit einer Einheit als
erster Komponente, hat den Rang r und dieselbe Ordnung wie g.
ist also zu r isomorph. Ferner ist H die Zwischengruppe ,£j aller R zu-
geordnet, die an erster Stelle ein beliebiges Element aus [) aufweisen,
an zweiter ein beliebiges System Sz und an dritter ein System 8 mit
einer Einheit als erster Komponente. Endlich erkennt man, daß auch
r/H und Oi/Ö isomorph sind.
§ 2.
Die im vorigen Paragraphen besprochenen Begriffsbildungen hat
Herr A. Loewy in seiner eingangs erwähnten Arbeit zur Galoisschen
Theorie bereits teilweise implicite benutzt. Seine Untersuchungen, die
sich zunächst nur auf Zahlkörper beziehen, sollen im nachstehenden für
beliebige abstrakte Körper kurz neu dargestellt, und die oben gemachten
Bemerkungen auf sie angewandt werden.
Der Inhalt der Galoisschen Theorie kann folgendermaßen gekenn-
zeichnet werden: Ist 9t ein endlicher Normalkörper über einem beliebigen
Körper St1), so wird durch systematisches Studium aller Automorphismen
von 9t, bei denen die Elemente von Ä einzeln ungeändert bleiben, ein voll-
ständiger Überblick über alle Zwischenkörper zwischen St und 9t und
deren Natur gewonnen. Die Erweiterung, die Herr A. Loewy vornimmt,
besteht nun darin, daß er an Stelle des Normalkörpers 9t einen beliebigen
endlichen Oberkörper 9)t von zugrunde legt. 9k läßt sich stets als
Unterkörper in einen (im folgenden festzuhaltenden) Normalkörper 9t
einbetten. Zugleich mit 9k = 9k(1) werden dann alle diejenigen Unter-
körper 9k(2), 9k(3), . . . von 9t ins Auge gefaßt, auf die 9k durch eine
isomorphe Abbildung bezogen werden kann, welche die Elemente von St
einzeln sich selbst zuordnet. Diese Körper heißen die Konjugierten von
1) Ein Körper 9t heißt nach E. Steinitz Normalkörper über St, wenn 1. 9t
algebraisch ist über $ und 2. ein über St irreduzibles Polynom, das über
9t einen Linearfaktor abspaltet, stets über 9t vollständig in Linearfaktoren
zerfällt.
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